Trong không gian Oxyz, cho điểm $E\left(2;1;3\right)$ , mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y-z-3=0$ và mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=36$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua E, nằm trong mặt phẳng $\left(P\right)$  và cắt $\left(S\right)$  tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $\Delta$ là

Đáp án C

$\left(S\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=36$, có tâm $I\left(3;2;5\right)$ và $R=6$

Ta có: $\overrightarrow{EI}=\left(1;1;2\right)\Rightarrow \overrightarrow{\left|EI\right|}=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}<6=R$  .

Do đó điểm E nằm trong mặt cầu $\left(S\right)$ .

Vì $E\in \left(P\right)$  và $\left\{\begin{array}{l}E\in \Delta \\ \Delta \subset \left(P\right)\end{array}\right.$  nên giao điểm của $\left(\Delta \right)$  và $\left(S\right)$  nằm trên đường tròn giao tuyến $\left(C\right)$  tâm K của mặt phẳng $\left(P\right)$  và mặt cầu $\left(S\right)$ , trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $\left(P\right)$ . Gọi $\Delta \cap \left(S\right)=\left\{A;B\right\}$ . Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left(K,\Delta \right)$  lớn nhất.

Gọi F là hình chiếu của K trên $\left(\Delta \right)$  khi đó $d\left(K;\Delta \right)=KF\le KE$ . Dấu $"="$  xảy ra khi và chỉ khi $F\equiv E$ .

Vì $\left\{\begin{array}{l}IK\perp \left(P\right)\\ KE\perp \Delta \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}IK\perp \Delta \\ KE\perp \Delta \end{array}\right.\Rightarrow IE\perp \Delta$ .

Mặt khác:$\left[{\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)},\overrightarrow{EI}\right]=\left(5;-5;0\right)$ , cùng phương với $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;0\right)$ .

Vì $\left\{\begin{array}{l}\Delta \subset \left(P\right)\\ \Delta \perp IE\end{array}\right.$  nên $\Delta$  có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;0\right)$ . Vậy $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\\ z=3\end{array}\right.$  .