Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = AC = a,\) góc \(BAC = {120^0},AA' = a.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(CC'.\) Số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng
A.\({60^0}.\)
B.\({30^0}.\)
C.\(\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\)
D. \[\arcsin \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \(\Delta A'MC'\) vuông tại \(M\) có \(\widehat {A'C'M} = {30^0} \Rightarrow A'M = \frac{1}{2}.A'C' = \frac{2}{2}\)
\(MC' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow B'C' = a\sqrt 3 .\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right) \Rightarrow \alpha = \left( {\widehat {\left( {AMN} \right);\left( {A'B'C'} \right)}} \right)\)
Tam giác \(A'MC'\) là hình chiếu của tam giác AMN trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) nên \(\cos \alpha = \frac{{{S_{A'MC'}}}}{{{S_{AMN}}}}\)
Ta có \({S_{A'MC'}} = \frac{1}{2}.{S_{ABC}} = \frac{1}{4}.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{8}.\)
\(A{N^2} = A{C^2} + C{N^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow AN = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)
\(M{N^2} = C'{N^2} + C'{M^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = {a^2} \Rightarrow MN = a.\)
Gọi \[I\] là trung điểm của \(MN \Rightarrow AI \bot MN\)
\(AI = \sqrt {A{N^2} - I{N^2}} = a\)
\({S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AI.MN = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)
Vậy số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\)
Đáp án C
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.4.
B.1.
C.3.
D. 2.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Từ đồ thị ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \Rightarrow a < 0.\)
Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) lần lượt là hai điểm cực trị của hàm số đã cho \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right).\)
Từ đồ thị ta thấy: \({x_1} + {x_2} >0 \Rightarrow ab < 0 \Rightarrow b >0.\)</>
Và: \({x_1}.{x_2} >0 \Rightarrow ac >0 \Rightarrow c >0.\)
Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm có tung độ \(y \Rightarrow d >0.\)
Vậy trong các số \(a,b,c,d\) có hai số dương.
Đáp án D
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
\(y' = 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5\)
Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5 \ge 0\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).\)
\(3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5 \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}},\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}},\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).\)
\(g'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} >0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow \) Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trong khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)
Do đó: \(m \le g\left( x \right),\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow m \le g\left( 2 \right) \Leftrightarrow m \le \frac{5}{{12}}.\)
Vì \(0 < m \le \frac{5}{{12}}.\) Do đó không có giá trị nguyên dương nào của \(m\) thỏa mãn bài toán.
Đáp án C
Câu 3
A.\(\frac{{16}}{9}.\)
B.\(\frac{{16}}{4}.\)
C.\(\frac{{11}}{9}.\)
D. \(\frac{9}{{11}}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.\(\frac{{{a^3}}}{2}.\)
B.\(\frac{{{a^3}}}{{12}}.\)
C.\(\frac{{{a^3}}}{6}.\)
D. \(\frac{{{a^3}}}{3}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\(V = \sqrt 2 {a^3}.\)
B.\(V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}.\)
C.\(V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}.\)
D. \(V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{4}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập