Câu hỏi:
27/04/2022 1,266Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = AC = a,\) góc \(BAC = {120^0},AA' = a.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(CC'.\) Số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có \(\Delta A'MC'\) vuông tại \(M\) có \(\widehat {A'C'M} = {30^0} \Rightarrow A'M = \frac{1}{2}.A'C' = \frac{2}{2}\)
\(MC' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow B'C' = a\sqrt 3 .\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right) \Rightarrow \alpha = \left( {\widehat {\left( {AMN} \right);\left( {A'B'C'} \right)}} \right)\)
Tam giác \(A'MC'\) là hình chiếu của tam giác AMN trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) nên \(\cos \alpha = \frac{{{S_{A'MC'}}}}{{{S_{AMN}}}}\)
Ta có \({S_{A'MC'}} = \frac{1}{2}.{S_{ABC}} = \frac{1}{4}.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{8}.\)
\(A{N^2} = A{C^2} + C{N^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow AN = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)
\(M{N^2} = C'{N^2} + C'{M^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = {a^2} \Rightarrow MN = a.\)
Gọi \[I\] là trung điểm của \(MN \Rightarrow AI \bot MN\)
\(AI = \sqrt {A{N^2} - I{N^2}} = a\)
\({S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AI.MN = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)
Vậy số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\)
Đáp án C
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {12m + 5} \right)x + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\) Số phần tử của \(S\) bằng
Câu 2:
Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,b,c,d?\)
Câu 3:
Cho các số dương \(a,b,c\) khác 1 thỏa mãn \({\log _a}\left( {bc} \right) = 3,{\log _b}\left( {ca} \right) = 4.\) Tính giá trị của \({\log _c}\left( {ab} \right).\)
Câu 4:
Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 3\) song song với trục hoành?
Câu 5:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Biết rằng \(e >n.\)
Số điểm cực trị của hàm số \(y = f'\left( {f\left( x \right) - 2x} \right)\) là
về câu hỏi!