Cho mặt cầu \(S\left( {O;r} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách tâm \(O\) một khoảng bằng \(\frac{r}{2}\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn. Hãy tính theo \(r\) chu vi của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right).\) 

Gọi \(\left( S \right)\) là tập hợp các giá trị nguyên \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \left| {3{x^4} - 8{x^3} - 6{x^2} + 24x - m} \right|\) có 7 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của \(S.\)

Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58% / tháng (không kỳ hạn). Hỏi bạn An phải gửi ít nhất bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng?

Cho số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11.\) Số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}\) bằng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Biết hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên \(m \in \left[ { - 2021;2021} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {x + m} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right).\) Hỏi \(S\) có bao nhiêu phần tử?

Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}\) tại điểm \(x = 1\) là \(y'\left( 1 \right) = a\ln 2 + b,\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right).\) Tính \(a - b.\) 

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh bên bằng \(2a,\) góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({60^0}.\) Tính thể tích của khối nón có đỉnh là \(S\) và đáy là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\) 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trong \(\left[ { - 2020;2020} \right]\) để phương trình \(\log \left( {mx} \right) = 2\log \left( {x + 1} \right)\) có nghiệm duy nhất?