Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trong \(\left[ { - 2020;2020} \right]\) để phương trình \(\log \left( {mx} \right) = 2\log \left( {x + 1} \right)\) có nghiệm duy nhất?

Phương trình đã cho tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}mx = {\left( {x + 1} \right)^2}\\x + 1 >0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x\left( {2 - m} \right) + 1 = 0\left( 1 \right)\\x >- 1\end{array} \right.\)

Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có nghiệm duy nhất trong \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)

Trường hợp 1. (1) có nghiệm kép \(\Delta = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right..\)

Thử lại: \(m = 0\) thì phương trình có nghiệm \(x = - 1,\) loại;

\(m = 4\) thì phương trình có nghiệm \(x = 1,\) thỏa mãn;

Trường hợp 2. (1) có nghiệm là \( - 1 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} + \left( { - 1} \right)\left( {2 - m} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 0.\)

Thử lại thấy không thỏa mãn.

Trường hợp 3. (1) có 2 nghiệm là \({x_1},{x_2}\) và \({x_1} < - 1 < {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m >0\\{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m >4\\m < 0\end{array} \right.\\1 + m - 2 + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0.\)

Vậy có 2020 giá trị nguyên của tham số \(m.\)

Đáp án C