Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn fx+fπ2−x=sinx.cosx, với mọi x∈ℝ và f(0) = 0. Giá trị của tích phân ∫0π2x.f'xdx bằng A. 14. B. π4. C. −14. D. −π4.

Thay x=π2 vào đẳng thức fx+fπ2−x=sinx.cosx⇒fπ2+f0=0⇔fπ2=0. Xét I=∫0π2x.f'xdx Đặt u=xdv=f'xdx⇒du=dxv=fx ⇒I=x.fx0π2−∫0π2fxdx=−∫0π2fxdx1 Lại có: ∫0π2fxdx+∫0π2fπ2−xdx=∫0π2sinx.cosxdx ⇔2∫0π2fxdx=12∫0π2sin2xdx⇔2∫0π2fxdx=12⇔∫0π2fxdx=14. Vậy I=−14. Chọn C.

Câu hỏi:

14/04/2022 234

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ thỏa mãn $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x,$ với mọi $x \in ℝ$ và f(0) = 0. Giá trị của tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x$ bằng

A. $\frac{1}{4} .$

B. $\frac{π}{4} .$

C. $- \frac{1}{4} .$

D. $- \frac{π}{4} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Thay $x = \frac{π}{2}$ vào đẳng thức $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x \Rightarrow f (\frac{π}{2}) + f (0) = 0 \Leftrightarrow f (\frac{π}{2}) = 0.$

Xét $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x$

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = f' (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = f (x) \end{cases}$

$\Rightarrow I = x . f (x) |_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = - \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x (1)$

Lại có: $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\frac{π}{2} - x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x . \cos x d x$

$\Leftrightarrow 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x \Leftrightarrow 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \frac{1}{4} .$

Vậy $I = - \frac{1}{4} .$

Chọn C.

Bình luận

Câu 1:

Ông An muốn xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp với dung tích 3 mét khối. Đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500000 đồng cho mỗi mét vuông. Hỏi chi phí thấp nhất ông An cần bỏ ra để xây bể nước là bao nhiêu?

A. 6490123 đồng

B. 7500000 đồng

C. 6500000 đồng

D. 5151214 đồng.

Xem đáp án » 14/04/2022 23,622

Câu 2:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh vào một ghế dài từ một nhóm gồm 10 học sinh?

A. $10^{5} .$

B. $5^{10} .$

C. $C_{10}^{5} .$

D. $A_{10}^{5} .$

Xem đáp án » 09/04/2022 20,027

Câu 3:

Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17]. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

A. $\frac{3276}{4913}$

B. $\frac{1728}{4913}$

C. $\frac{23}{68}$

D. $\frac{1637}{4913}$

Xem đáp án » 14/04/2022 13,470

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = \frac{a x - 4}{b x + c} (a, b, c \in ℝ)$ có bảng biến thiên như sau

Trong các số a, b, c có bao nhiêu số dương?

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án » 14/04/2022 13,384

Câu 5:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = 5$ và $u_{2} = 15.$ Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. 20.

B. 75.

C. 3.

D. 10.

Xem đáp án » 09/04/2022 12,288

Câu 6:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (\log_{2} \frac{3 x - 1}{x + 1}) \leq 0$ là

A. $(- \infty; - 1)$

B. $[3; + \infty)$

C. $(- \infty; - 1) \cup [3; + \infty)$

D. $(- 1; 3]$

Xem đáp án » 13/04/2022 9,636

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-3; 1; 4) và gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên các trục Ox, Oy, Oz. Phương trình nào dưới đây là phương trình cuả mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC)?

A. $4 x - 12 y + 3 z - 12 = 0$

B. $4 x + 12 y - 3 z - 12 = 0$

C. $4 x - 12 y - 3 z + 12 = 0$

D. $4 x - 12 y - 3 z - 12 = 0$

Xem đáp án » 14/04/2022 7,817

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ thỏa mãn $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x,$ với mọi $x \in ℝ$ và f(0) = 0. Giá trị của tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x$ bằng

Bình luận

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh vào một ghế dài từ một nhóm gồm 10 học sinh?

Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17]. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

Cho hàm số $f (x) = \frac{a x - 4}{b x + c} (a, b, c \in ℝ)$ có bảng biến thiên như sau

Trong các số a, b, c có bao nhiêu số dương?

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = 5$ và $u_{2} = 15.$ Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (\log_{2} \frac{3 x - 1}{x + 1}) \leq 0$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-3; 1; 4) và gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên các trục Ox, Oy, Oz. Phương trình nào dưới đây là phương trình cuả mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC)?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn fx+fπ2−x=sinx.cosx, với mọi x∈ℝ và f(0) = 0. Giá trị của tích phân ∫0π2x.f'xdx bằng

Bình luận

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh vào một ghế dài từ một nhóm gồm 10 học sinh?

Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17]. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

Cho hàm số fx=ax−4bx+ca,b,c∈ℝ có bảng biến thiên như sau Trong các số a, b, c có bao nhiêu số dương?

Cho cấp số cộng un với u1=5 và u2=15. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Tập nghiệm của bất phương trình log12log23x−1x+1≤0 là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-3; 1; 4) và gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên các trục Ox, Oy, Oz. Phương trình nào dưới đây là phương trình cuả mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC)?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ thỏa mãn $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x,$ với mọi $x \in ℝ$ và f(0) = 0. Giá trị của tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x$ bằng

Cho hàm số $f (x) = \frac{a x - 4}{b x + c} (a, b, c \in ℝ)$ có bảng biến thiên như sau

Trong các số a, b, c có bao nhiêu số dương?

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = 5$ và $u_{2} = 15.$ Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (\log_{2} \frac{3 x - 1}{x + 1}) \leq 0$ là