Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} - 3{x^2} + 6x + m{\rm{ khi }}x < 1\\\frac{{2x + 1}}{{x + 2}}{\rm{ khi }}x \ge 1\end{array} \right.\) (Với\(m\) là hằng số). Biết \(I = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{{e^2}} {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}{\rm{d}}x} + \int\limits_0^{\ln 2} {{e^x}f\left( {{e^x}} \right){\rm{d}}x} = a + b\ln 4 + c\ln 3\) với \(a,\,\,b,\,c\) là các số nguyên. Tổng \(a + 2b + 3c\) bằng

Lời giải

+ Với mọi \(x\not = 1\) hàm số \(f(x)\) liên tục, do đó \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = f(1)\)\( \Leftrightarrow 3 + m = 1 \Leftrightarrow m = - 2\)

Khi đó \(I = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{{e^2}} {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}{\rm{d}}x} + \int\limits_0^{\ln 2} {{e^x}f\left( {{e^x}} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{{e^2}} {f\left( {\ln x} \right){\rm{d}}\left( {\ln x} \right)} + \int\limits_0^{\ln 2} {f\left( {{e^x}} \right){\rm{d}}\left( {{e^x}} \right)} \)

\( = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 2\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 3{x^2} + 6x - 2} \right){\rm{d}}x} + 2\int\limits_1^2 {\left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} = {I_1} + 2{I_2}\)

+ Với \({I_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 3{x^2} + 6x - 2} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( { - {x^3} + 3{x^2} - 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = - 6\)

+ Với \[{I_2} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {\left( {2 - \frac{3}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {2x - 3\ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_1^2 = 2 - 3\ln 4 + 3\ln 3\]

Do đó \(I = - 2 - 6\ln 4 + 6\ln 3 = a + b\ln 4 + c\ln 3\) suy ra \(a = - 2,{\rm{ }}b = - 6,{\rm{ }}c = 6\)

Vậy \(a + 2b + 3c = - 2 + ( - 12) + 18 = 4.\)

Chọn đáp án B