Cho khối lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$  có $A\text{'}B=4a$ . Gọi M là trung điểm của cạnh $BB\text{'}vàCM=a\sqrt{2}$ . Biết khoảng cách giữa $A\text{'}B$  và CM bằng a và góc tạo bởi hai đường thẳng $A\text{'}B$  và CM là ${30}^o$ (tham khảo hình bên), thể tích khối lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$  bằng

Đáp án B

Diện tích hình vuông là: $S=4^2=16m^2$

Gọi $S_3$  là phần diện tích còn lại (không tô đậm).

Gắn hệ tọa độ nhưu hình vẽ: 

Do $I\left(0;4\right)$  là đỉnh của parabol (P) nên có phương trình: $y=a{x}^2+4\stackrel{B\left(2;0\right)\in \left(P\right)}{\to }0=4a+4\iff a=-1\Rightarrow y=-x^2+4$

Ta có $B\left(2;0\right),D\left(-2;4\right)\Rightarrow$  phương trình $DB:y=-x+2$

Xét phương trình: $-x^2+4=-x+2\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\end{array}\right.\Rightarrow M\left(-1;3\right)$. Khi đó $\left\{\begin{array}{l}{S}_1=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(\left(-x^2+4\right)-\left(-x+2\right)\right)dx=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(-x^2+x+2\right)dx=\frac{9}{2}{m}^2\\ S_2=\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left(-x^2+4\right)dx+\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(-x+2\right)dx=\frac{37}{6}{m}^2\end{array}\right.\stackrel{\left(*\right)}{\to }{S}_3=S-\left(S_1+S_2\right)=\frac{16}{3}$

Suy ra tổng tiền:$T=\frac{9}{2}.200000+\frac{37}{6}.150000+\frac{16}{3}.100000=\mathrm{2368333,}\left(3\right)\approx \mathrm{2,37}$  triệu đồng.

Chú ý: Ở bài toán này ta có thể sử dụng công thức giải nhanh: “Diện tích giới hạn bởi parabol (P) và trục hoành là:

$S_1+S_2=\frac{2}{3}IO.AB=\frac{2}{3}\mathrm{.4.4}=\frac{32}{3}{m}^2\Rightarrow S_2=\frac{32}{3}-S_1=\frac{32}{3}-\frac{9}{2}=\frac{37}{6}{m}^2$

Đáp án B

Ta có: $d\left(A,\left(SBC\right)\right)=AH$  (như hình vẽ)

Có: $AM=\frac{\left(2a\right).\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{S}^2}+\frac{1}{A{M}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{4}{3a^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$