Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+y-z+3=0$  và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2\text{x}+4\text{z}-11=0$ . Biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  theo giao tuyến là đường tròn (T). Tính chu vi đường tròn (T).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(0;-1;-1),B(-1;-3;1)$ . Giả sử C, D là hai điểm di động thuộc mặt phẳng  $\left(P\right):2\text{x}+y-2\text{z}-1=0$ sao cho CD = 4 và A, C, D thẳng hàng. Gọi $S_1,{\text{ S}}_2$ lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD. Khi đó tổng $S_1+S_2$  có giá trị bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A(-1;2;4)$ . Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oyz)?

Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi ít nhất sau bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu?

Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt phẳng (SAC), (SAB) cùng vuông góc với đáy và góc tạo bởi SC và đáy bằng $60°$ . Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a.

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi $\frac{1}{4}$  cung tròn có bán kính R = 2, đường cong $y=\sqrt{4-x}$  và trục hoành (miền tô đậm như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục Ox.

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$  có $B{B}^{\text{'}}=a$ , góc giữa đường thẳng $B{B}^{\text{'}}$  và mặt phẳng (ABC) bằng $60°$ , tam giác ABC vuông tại C và $\widehat{BAC}=60°$ . Hình chiếu vuông góc của điểm $B^{\text{'}}$  lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Thể tích của khối tứ diện $A^{\text{'}}.ABC$   tính theo a bằng