Câu hỏi:
06/05/2022 911Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A.\) Hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(\left( {ABC} \right).\) Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng \(\frac{{\sqrt {17} }}{6}a,\) cạnh bên \(AA'\) bằng \(2a.\) Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) biết \(AB < a\sqrt 3 .\)
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án A.
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC,G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)
Hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(\left( {ABC} \right)\) nên \(A'G \bot \left( {ABC} \right)\)
Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AN \bot BC\left( 1 \right)\)
Lại có \(A'G \bot BC\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(BC \bot \left( {A'AN} \right)\)
Trong mặt phẳng \(\left( {A'AN} \right)\) từ \(N\) kẻ \(NH \bot A'A\) suy ra \(NH\) là ddonanj vuông góc chung của \(AA'\) và \(BC\) do đó \(d\left( {A'A;BC} \right) = NH = \frac{{\sqrt {17} }}{6}a\)
Đặt \(AB = 2x\)
Vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(BC = 2x\sqrt 2 ;AN = \frac{1}{2}BC = x\sqrt 2 \)
\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow AG = \frac{2}{3}AN = \frac{{2x\sqrt 2 }}{3}\)
Trong tam giác vuông \(A'AG\) có \(A'{G^2} = A'{A^2} - A{G^2} = 4{a^2} - \frac{{8{x^2}}}{9}\)
Trong mặt phẳng \(\left( {A'AN} \right)\) kẻ \(GK//NH \Rightarrow GK = \frac{2}{3}NH = \frac{{a\sqrt {17} }}{9}\)
Trong tam giác vuông \(A'AG\) có
\(\frac{1}{{G{K^2}}} = \frac{1}{{A'{G^2}}} + \frac{1}{{A{G^2}}} \Leftrightarrow \frac{{81}}{{17{a^2}}} = \frac{1}{{4{a^2} - \frac{{8{x^2}}}{9}}} + \frac{1}{{\frac{{8{x^2}}}{9}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{81}}{{17{a^2}}} = \frac{{4{a^2}}}{{\left( {4{a^2} - \frac{{8{x^2}}}{9}} \right).\frac{{8{x^2}}}{9}}}\)
\( \Leftrightarrow 64{x^4} - 288{a^2}{x^2} + 68{a^4} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{17}}{4}{a^2} \Rightarrow x = \frac{{\sqrt {17} }}{2}a \Rightarrow AB = a\sqrt {17} \\{x^2} = \frac{1}{4}{a^2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}a \Rightarrow AB = a\end{array} \right.\)
Mà \(AB < a\sqrt 3 \) nên \(AB = a\)
Cách để tính AB
Ta có \(NH.AA' = A'G.AN\) (vì cùng bằng 2 lần diện tích tam giác \[A'NA)\]
\( \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt {17} }}{6}.2a = \sqrt {4{a^2} - \frac{{8{x^2}}}{9}} .x\sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow 16{x^4} - 72{a^2}{x^2} + 17{a^4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{17}}{4}{a^2} \Rightarrow x = \frac{{\sqrt {17} }}{2}a \Rightarrow AB = a\sqrt {17} \\{x^2} = \frac{1}{4}{a^2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}a \Rightarrow AB = a\end{array} \right.\)
Mà \(AB < a\sqrt 3 \) nên \(AB = a.\)
\(A'{G^2} = A'{A^2} - A{G^2} = 4{a^2} - \frac{{8{x^2}}}{9} = \frac{{34{a^2}}}{9} \Rightarrow A'G = \frac{{a\sqrt {34} }}{3}\)
Thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là
\(V = A'G.{S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt {34} }}{3}.\frac{1}{2}.a.a = \frac{{\sqrt {34} {a^3}}}{6}.\)
Nhà sách VIETJACK:
Sách - 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (Sách dành cho ôn thi THPT Quốc gia 2025) VietJack
Đã bán 189
₫ 135.000
₫ 38.500
Sách - 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Dành cho ôn thi THPT 2025) VietJack
Đã bán 187
₫ 135.000
₫ 38.500
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Khối chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(6a,\) tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy có thể tích bằng
Xem đáp án »
06/05/2022
26,490
Câu 2:
Số giao điểm của đồ thị \(y = {x^3} - 2{x^2} + 3x - 2\) và trục hoành là
Xem đáp án »
06/05/2022
12,086
Câu 4:
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Xem đáp án »
06/05/2022
7,472
Câu 5:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là hàm số \(f'\left( x \right).\) Biết đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) được cho như hình vẽ. Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng
Xem đáp án »
06/05/2022
5,157
Câu 6:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{34}}{{\sqrt {{{\left( {{x^3} - 3x + 2m} \right)}^2}} + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng
Xem đáp án »
06/05/2022
5,086
Câu 7:
Cho hàm số \(y = \frac{{5x + 9}}{{x - 1}}\) khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án »
06/05/2022
4,303
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
50 bài tập Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng có lời giải
-
45 bài tập Xác suất có lời giải
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
50 bài tập Hình học không gian có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận