Cho hình lăng trụ (ABC.A'B'C' ) có đáy là tam giác vuông cân tại (A. ) Hình chiếu vuông góc của điểm (A' ) lên mặt phẳng ( left( {ABC} right) ) trùng với trọng tâm tam giác ( left( {ABC} right). ) Biế...

Đáp án A. Gọi (N ) là trung điểm của (BC,G ) là trọng tâm tam giác (ABC ) Hình chiếu vuông góc của điểm (A' ) lên mặt phẳng ( left( {ABC} right) ) trùng với trọng tâm tam giác ( left( {ABC} right) ) nên (A'G bot left( {ABC} right) ) Tam giác (ABC ) vuông cân tại (A ) nên (AN bot BC left( 1 right) ) Lại có (A'G bot BC left( 2 right) ) Từ ( left( 1 right) ) và ( left( 2 right) ) ta có (BC bot left( {A'AN} right) ) Trong mặt phẳng ( left( {A'AN} right) ) từ (N ) kẻ (NH bot A'A ) suy ra (NH ) là ddonanj vuông góc chung của (AA' ) và (BC ) do đó (d left( {A'A;BC} right) = NH = frac{{ sqrt {17} }}{6}a ) Đặt (AB = 2x ) Vì tam giác (ABC ) vuông cân tại (A ) nên (BC = 2x sqrt 2 ;AN = frac{1}{2}BC = x sqrt 2 ) (G ) là trọng tâm tam giác (ABC Rightarrow AG = frac{2}{3}AN = frac{{2x sqrt 2 }}{3} ) Trong tam giác vuông (A'AG ) có (A'{G^2} = A'{A^2} - A{G^2} = 4{a^2} - frac{{8{x^2}}}{9} ) Trong mặt phẳng ( left( {A'AN} right) ) kẻ (GK//NH Rightarrow GK = frac{2}{3}NH = frac{{a sqrt {17} }}{9} ) Trong tam giác vuông (A'AG ) có ( frac{1}{{G{K^2}}} = frac{1}{{A'{G^2}}} + frac{1}{{A{G^2}}} Leftrightarrow frac{{81}}{{17{a^2}}} = frac{1}{{4{a^2} - frac{{8{x^2}}}{9}}} + frac{1}{{ frac{{8{x^2}}}{9}}} ) ( Leftrightarrow frac{{81}}{{17{a^2}}} = frac{{4{a^2}}}{{ left( {4{a^2} - frac{{8{x^2}}}{9}} right). frac{{8{x^2}}}{9}}} ) ( Leftrightarrow 64{x^4} - 288{a^2}{x^2} + 68{a^4} = 0 ) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{x^2} = frac{{17}}{4}{a^2} Rightarrow x = frac{{ sqrt {17} }}{2}a Rightarrow AB = a sqrt {17} {x^2} = frac{1}{4}{a^2} Rightarrow x = frac{1}{2}a Rightarrow AB = a end{array} right. ) Mà (AB < a sqrt 3 ) nên (AB = a ) Cách để tính AB Ta có (NH.AA' = A'G.AN ) (vì cùng bằng 2 lần diện tích tam giác [A'NA) ] ( Leftrightarrow frac{{a sqrt {17} }}{6}.2a = sqrt {4{a^2} - frac{{8{x^2}}}{9}} .x sqrt 2 ) ( Leftrightarrow 16{x^4} - 72{a^2}{x^2} + 17{a^4} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{x^2} = frac{{17}}{4}{a^2} Rightarrow x = frac{{ sqrt {17} }}{2}a Rightarrow AB = a sqrt {17} {x^2} = frac{1}{4}{a^2} Rightarrow x = frac{1}{2}a Rightarrow AB = a end{array} right. ) Mà (AB < a sqrt 3 ) nên (AB = a. ) (A'{G^2} = A'{A^2} - A{G^2} = 4{a^2} - frac{{8{x^2}}}{9} = frac{{34{a^2}}}{9} Rightarrow A'G = frac{{a sqrt {34} }}{3} ) Thể tích (V ) của khối lăng trụ (ABC.A'B'C' ) là (V = A'G.{S_{ABC}} = frac{{a sqrt {34} }}{3}. frac{1}{2}.a.a = frac{{ sqrt {34} {a^3}}}{6}. )