Câu hỏi:
06/05/2022 372Cho hình tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc \(AB = 6a,AC = 8a,AD = 12a,\) với \(a >0,a \in \mathbb{R}.\) Gọi \(E,F\) tương ứng là trung điểm của hai cạnh \(BC,BD.\) Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) theo \(a.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp ánA.
Cách 1:
Ta có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc nên \(AD \bot \left( {ABC} \right).\)
Gọi \(K\) là trung điểm của \(AB,\) vì \(F\) là trung điểm của \(BD\) suy ra \(FK//AD\) mà \(AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow FK \bot \left( {ABC} \right)\) hay \(FK \bot \left( {AKE} \right).\)
Kẻ \(\left\{ \begin{array}{l}KG \bot AE\left( {G \in AE} \right)\\KH \bot FG\left( {H \in GF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {K,\left( {AEF} \right)} \right) = KH.\) Mặt khác \(BK\) cắt mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) tại \(A.\)
Suy ra \(\frac{{d\left( {B,\left( {AEF} \right)} \right)}}{{d\left( {K,\left( {AEF} \right)} \right)}} = \frac{{BA}}{{KA}} = 2 \Rightarrow d\left( {B,\left( {AEF} \right)} \right) = 2d\left( {K,\left( {AEF} \right)} \right).\)
Trong tam giác \(AKE\) vuông tại \(K\) và tam giác \(FKG\) vuông tại \(K,\) ta có:
\(\frac{1}{{K{H^2}}} = \frac{1}{{K{F^2}}} + \frac{1}{{K{G^2}}} = \frac{1}{{K{F^2}}} + \frac{1}{{K{A^2}}} + \frac{1}{{K{E^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {6a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {3a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {4a} \right)}^2}}} = \frac{{29}}{{144{a^2}}} \Rightarrow KH = \frac{{12\sqrt {29} a}}{{29}}.\)
Vậy \(d = \frac{{24\sqrt {29} a}}{{29}}.\)
Cách 2: Ta có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc nên \(AD \bot \left( {ABC} \right).\) Chọn hệ trục tọa độ \(Axyz\) như hình vẽ, chọn \(a = 1,\) ta có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {0;6;0} \right),E\left( {4;3;0} \right),F\left( {0;3;6} \right).\)
Ta có \(\overrightarrow {AE} = \left( {4;3;0} \right),\overrightarrow {AF} = \left( {0;3;6} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AE} ,\overrightarrow {AF} } \right] = \left( {18; - 24;12} \right) = 6\left( {3; - 4;2} \right).\)
Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua \(A\left( {0;0;0} \right)\) có phương trình là: \(3x - 4y + 2z = 0.\)
Vậy \(d\left( {B,\left( {AEF} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.0 - 4.6 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{24\sqrt {29} }}{{29}}.\)
Vì \(a = 1\) nên \(d = \frac{{24\sqrt {29} a}}{{29}}.\)
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án A.
Vẽ đường cao
\(SO\) của tam giác đều \(SAB.\)
Ta có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).\)
Do đó \(SO\) là đường cao của hình nón \(S.ABCD\) và \(SO = \frac{{6a\sqrt 3 }}{2} = 3a\sqrt 3 .\)
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD:V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.{\left( {6a} \right)^2}.3a\sqrt 3 = 36\sqrt 3 {a^3}.\)
Lời giải
Đáp án A.
Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = {x^3} - 2{x^2} + 3x - 2\) với trục hoành là
\({x^3} - 2{x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (do \({x^2} - x + 2 >0,\forall x \in \mathbb{R}).\)
Vậy số giao điểm cần tìm là 1.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 19)
45 bài tập Xác suất có lời giải
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 11)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận