Cho hình tứ diện (ABCD ) có (AB,AC,AD ) đôi một vuông góc (AB = 6a,AC = 8a,AD = 12a, ) với (a >0,a in mathbb{R}. ) Gọi (E,F ) tương ứng là trung điểm của hai cạnh (BC,BD. ) Tính khoảng cách (d ) từ đi...

Đáp ánA. Cách 1: Ta có (AB,AC,AD ) đôi một vuông góc nên (AD bot left( {ABC} right). ) Gọi (K ) là trung điểm của (AB, ) vì (F ) là trung điểm của (BD ) suy ra (FK//AD ) mà (AD bot left( {ABC} right) Rightarrow FK bot left( {ABC} right) ) hay (FK bot left( {AKE} right). ) Kẻ ( left { begin{array}{l}KG bot AE left( {G in AE} right) KH bot FG left( {H in GF} right) end{array} right. Rightarrow d left( {K, left( {AEF} right)} right) = KH. ) Mặt khác (BK ) cắt mặt phẳng ( left( {AEF} right) ) tại (A. ) Suy ra ( frac{{d left( {B, left( {AEF} right)} right)}}{{d left( {K, left( {AEF} right)} right)}} = frac{{BA}}{{KA}} = 2 Rightarrow d left( {B, left( {AEF} right)} right) = 2d left( {K, left( {AEF} right)} right). ) Trong tam giác (AKE ) vuông tại (K ) và tam giác (FKG ) vuông tại (K, ) ta có: ( frac{1}{{K{H^2}}} = frac{1}{{K{F^2}}} + frac{1}{{K{G^2}}} = frac{1}{{K{F^2}}} + frac{1}{{K{A^2}}} + frac{1}{{K{E^2}}} = frac{1}{{{{ left( {6a} right)}^2}}} + frac{1}{{{{ left( {3a} right)}^2}}} + frac{1}{{{{ left( {4a} right)}^2}}} = frac{{29}}{{144{a^2}}} Rightarrow KH = frac{{12 sqrt {29} a}}{{29}}. ) Vậy (d = frac{{24 sqrt {29} a}}{{29}}. ) Cách 2: Ta có (AB,AC,AD ) đôi một vuông góc nên (AD bot left( {ABC} right). ) Chọn hệ trục tọa độ (Axyz ) như hình vẽ, chọn (a = 1, ) ta có (A left( {0;0;0} right),B left( {0;6;0} right),E left( {4;3;0} right),F left( {0;3;6} right). ) Ta có ( overrightarrow {AE} = left( {4;3;0} right), overrightarrow {AF} = left( {0;3;6} right) Rightarrow left[ { overrightarrow {AE} , overrightarrow {AF} } right] = left( {18; - 24;12} right) = 6 left( {3; - 4;2} right). ) Mặt phẳng ( left( {AEF} right) ) nhận ( overrightarrow n = left( {3; - 4;2} right) ) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua (A left( {0;0;0} right) ) có phương trình là: (3x - 4y + 2z = 0. ) Vậy (d left( {B, left( {AEF} right)} right) = frac{{ left| {3.0 - 4.6 + 2.0} right|}}{{ sqrt {{3^2} + {{ left( { - 4} right)}^2} + {2^2}} }} = frac{{24 sqrt {29} }}{{29}}. ) Vì (a = 1 ) nên (d = frac{{24 sqrt {29} a}}{{29}}. )