Câu hỏi:
06/05/2022 286Cho hình tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc \(AB = 6a,AC = 8a,AD = 12a,\) với \(a >0,a \in \mathbb{R}.\) Gọi \(E,F\) tương ứng là trung điểm của hai cạnh \(BC,BD.\) Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) theo \(a.\)
Câu hỏi trong đề:
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp ánA.
Cách 1:
Ta có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc nên \(AD \bot \left( {ABC} \right).\)
Gọi \(K\) là trung điểm của \(AB,\) vì \(F\) là trung điểm của \(BD\) suy ra \(FK//AD\) mà \(AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow FK \bot \left( {ABC} \right)\) hay \(FK \bot \left( {AKE} \right).\)
Kẻ \(\left\{ \begin{array}{l}KG \bot AE\left( {G \in AE} \right)\\KH \bot FG\left( {H \in GF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {K,\left( {AEF} \right)} \right) = KH.\) Mặt khác \(BK\) cắt mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) tại \(A.\)
Suy ra \(\frac{{d\left( {B,\left( {AEF} \right)} \right)}}{{d\left( {K,\left( {AEF} \right)} \right)}} = \frac{{BA}}{{KA}} = 2 \Rightarrow d\left( {B,\left( {AEF} \right)} \right) = 2d\left( {K,\left( {AEF} \right)} \right).\)
Trong tam giác \(AKE\) vuông tại \(K\) và tam giác \(FKG\) vuông tại \(K,\) ta có:
\(\frac{1}{{K{H^2}}} = \frac{1}{{K{F^2}}} + \frac{1}{{K{G^2}}} = \frac{1}{{K{F^2}}} + \frac{1}{{K{A^2}}} + \frac{1}{{K{E^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {6a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {3a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {4a} \right)}^2}}} = \frac{{29}}{{144{a^2}}} \Rightarrow KH = \frac{{12\sqrt {29} a}}{{29}}.\)
Vậy \(d = \frac{{24\sqrt {29} a}}{{29}}.\)
Cách 2: Ta có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc nên \(AD \bot \left( {ABC} \right).\) Chọn hệ trục tọa độ \(Axyz\) như hình vẽ, chọn \(a = 1,\) ta có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {0;6;0} \right),E\left( {4;3;0} \right),F\left( {0;3;6} \right).\)
Ta có \(\overrightarrow {AE} = \left( {4;3;0} \right),\overrightarrow {AF} = \left( {0;3;6} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AE} ,\overrightarrow {AF} } \right] = \left( {18; - 24;12} \right) = 6\left( {3; - 4;2} \right).\)
Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua \(A\left( {0;0;0} \right)\) có phương trình là: \(3x - 4y + 2z = 0.\)
Vậy \(d\left( {B,\left( {AEF} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.0 - 4.6 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{24\sqrt {29} }}{{29}}.\)
Vì \(a = 1\) nên \(d = \frac{{24\sqrt {29} a}}{{29}}.\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Khối chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(6a,\) tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy có thể tích bằng
Xem đáp án »
06/05/2022
25,259
Câu 2:
Số giao điểm của đồ thị \(y = {x^3} - 2{x^2} + 3x - 2\) và trục hoành là
Xem đáp án »
06/05/2022
10,629
Câu 4:
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Xem đáp án »
06/05/2022
6,675
Câu 5:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là hàm số \(f'\left( x \right).\) Biết đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) được cho như hình vẽ. Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng
Xem đáp án »
06/05/2022
4,799
Câu 6:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{34}}{{\sqrt {{{\left( {{x^3} - 3x + 2m} \right)}^2}} + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng
Xem đáp án »
06/05/2022
4,682
Câu 7:
Cho hàm số \(y = \frac{{5x + 9}}{{x - 1}}\) khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án »
06/05/2022
4,000
về câu hỏi!