Đồ thị hàm số ( left( C right):y = frac{{2x + 1}}{{x + 1}} ) cắt đường thẳng (d:y = x + m ) tại hai điểm phân biệt (A,B ) thỏa mãn ( Delta OAB ) vuông tại (O ) khi (m = frac{a}{b}. ) Biết (a,b ) là ng...

Đáp án A. Phương trình hoành độ giao điểm của ( left( C right) ) và (d ) là: ( frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m Leftrightarrow left { begin{array}{l}x + 1 ne 0 2x + 1 = left( {x + 1} right) left( {x + m} right) end{array} right. ) ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}x ne - 1 {x^2} + left( {m - 1} right)x + m - 1 = 0 left( 1 right) end{array} right. ) ( left( C right) ) cắt (d ) tại hai điểm phân biệt (A,B Leftrightarrow left( 1 right) ) có hai nghiệm phân biệt khác ( - 1{ rm{ }}({x_A},{x_B} ) là nghiệm phương trình ( left( 1 right)) Leftrightarrow left { begin{array}{l}{ Delta _{ left( 1 right)}} >0 { left( { - 1} right)^2} + left( {m - 1} right) left( { - 1} right) + m - 1 ne 0 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}{ left( {m - 1} right)^2} - 4 left( {m - 1} right) >0 1 - m + 1 + m - 1 ne 0 end{array} right. ) ( Leftrightarrow left { begin{array}{l} left( {m - 1} right) left( {m - 5} right) >0 1 ne 0 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m < 1 m >5 end{array} right. )</> Theo định lí Viet: ({x_A} + {x_B} = 1 - m,{x_A}{x_B} = m - 1 ) (A left( {{x_A};{x_A} + m} right),B left( {{x_B};{x_B} + m} right) ) ( overrightarrow {OA} = left( {{x_A};{x_A} + m} right), overrightarrow {OB} = left( {{x_B},{x_B} + m} right) ) ( Delta OAB ) vuông tại (O Leftrightarrow overrightarrow {OA} . overrightarrow {OB} = 0 Leftrightarrow {x_A}.{x_B} + left( {{x_A} + m} right) left( {{x_B} + m} right) = 0 ) ( Leftrightarrow 2{x_A}{x_B} + m left( {{x_A} + {x_B}} right) + {m^2} = 0 Leftrightarrow 2m - 2 + m left( {1 - m} right) + {m^2} = 0 Leftrightarrow 3m - 2 = 0 Leftrightarrow m = frac{2}{3} ) (nhận) Theo đề bài ta có (a = 2,b = 3. ) Vậy (S = 5. )