Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = 2a và thể tích bằng $\frac{4\sqrt{3}}{3}{a}^3.$ Côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng

Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai Parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao của mực cát bằng $\frac{3}{4}$ chiều cao của bên đó (xem hình vẽ). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 12,72 cm³/phút. Khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi $8\pi$  cm (xem hình vẽ). Biết sau 10 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu?

Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ Radi ${}^{226}Ra$ là 1602 năm (tức là một lượng ${}^{226}Ra$ sau 1602 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức$S=A.e^{rt}$ trong đó  là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0) là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy. Hỏi 5 gam ${}^{226}Ra$ sau 4000 năm phân hủy sẽ còn lại bao nhiêu gam (làm tròn đến 3 chữ số thập phân)?

Theo thống kê của Sở GD&ĐT Hà Nội, năm học 2018-2019, dự kiến toàn thành phố có 101.460 học sinh xét tốt nghiệp THCS, giảm khoảng 4.000 học sinh so với năm học 2017-2018. Kỳ tuyển sinh vào THPT công lập năm 2019-2020 sẽ giảm 3.000 chỉ tiêu so với năm 2018-2019. Số lượng học sinh kết thúc chương trình THCS năm học 2018-2019 sẽ được phân luồng trong năm học 2019-2020 như biểu đồ hình bên.

Người ta xây dựng một hình tháp bằng cách xếp các khối lập phương chồng lên nhau theo quy luật khối lập phương phía trên có độ dài của một cạnh bằng $\frac{2}{3}$ độ dài của một cạnh của khối lập phương ở liền phía dưới của nó. Giả sử khối lập phương ở dưới cùng có độ dài của một cạnh là 5m. Gọi S là chiều cao tối đa của tháp có thể xây dựng được. Chọn khẳng định đúng.

Một đa giác lồi có 10 cạnh và các góc trong của nó lập thành một cấp số cộng với công sai d = 4^o. Tìm góc trong nhỏ nhất của đa giác đó.

Trong tất cả các hình nón nội tiếp trong hình cầu có thể tích bằng $36\pi ,$ bán kính r của hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất là