Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi E,F lần lượt là các điểm đối xứng của B qua C,D và M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi (T) là thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MEF). Tính diện tích S của thiết diện (T)

Đáp án D

Vẽ AO $\perp$(BCD, MH $\perp$(BCD). Gọi K là trung điểm EF, ta có (ABK) $\perp$(BCD), mp (ABK) chứa AO, MH và  là mặt phẳng trung trực của đoạn CD và EF.

Gọi J là trung điểm CD; G là giao điểm của MK và AJ; I là giao điểm của MK và AO.

Gọi N, P lần lượt là giao điểm của ME với AC, MF với AD. Khi đó (MNP) chính là thiết diện khi cắt tứ diện đều ABCD bởi mp (MEF). Vì BE=BF=2a nên ta cũng có MN=MP, hay tam giác MNP cân tại M, đường cao MG.

Để tính diện tích MNP, ta cần đi tìm MG và NP.

Vì G là giao điểm của các đường trung tuyến AJ và MK trong tam giác ABK nên G là trọng tâm của tam giác ABK, do đó MG = $\frac{1}{3}$MK (1) và AG = $\frac{2}{3}$AJ hay NP = $\frac{2}{3}$CD = $\frac{2a}{3}$ (vì NP//CD//EF và chứng minh dựa vào các tam giác đồng dạng, tính chất tỉ số đồng dạng và các đường cao; đường cao AG, AJ trong tam giác ANP và ACD).

Áp dụng nhanh: tam giác đều cạnh a có độ dài mỗi đường cao là $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ (và diện tích là $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ ).

Tam giác đều BCD cạnh a có đường cao BJ = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$, trọng tâm O, suy ra BO = $\frac{2}{3}$BJ = $\frac{a}{\sqrt{3}}$. Lại vì MH là đường trung bình trong tam giác vuông ABO nên

Vì tam giác MHK vuông tại H nên ta có

Quay lại (1), ta có

từ đó tính được diện tích tam giác MNP là