Câu hỏi:

02/05/2022 218

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng $45^{0} .$ Gọi M là trung điểm SD, hãy tính theo a khoảng cách d từ M đến mặt phẳng (SAC).

A. $d = \frac{a \sqrt{1513}}{89}$

B. $d = \frac{a \sqrt{1315}}{89}$

C. $d = \frac{2 a \sqrt{1513}}{89}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

- Đổi $d (M; (S A C))$ sang $d (H; (S A C))$

- Trong (ABCD) kẻ $H E ⊥ A C (E \in A C),$ trong (SHE) kẻ $H N ⊥ S E (N \in S E)$ , chứng minh $H N ⊥ (S A C)$

- Xác định góc giữa SC và (ABCD), từ đó tính SH.

- Sử dụng $S_{H A C} = \frac{1}{2} H E . A C = \frac{1}{2} S_{A B C},$ từ đó tính HE.

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính HN.

Cách giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm AB. Vì $Δ S A B$ cân tại S nên $S H ⊥ A B$

Ta có: $\{\begin{cases} (S A B) \cap (A B C D) = A B \\ S H \subset (A B C D), S H ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C D) .$

Gọi $K = H D \cap A C .$ Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\frac{D K}{H K} = \frac{D C}{A H} = 2 \Rightarrow D K = 2 H K .$

Ta có $M D \cap (S A C) = S \Rightarrow \frac{d (M; (S A C))}{d (D; (S A C))} = \frac{S M}{S D} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow d (M; (S A C)) = \frac{1}{2} d (D; (S A C))$ .

Lại có $D H \cap (S A C) = K$ nên $\frac{d (D; (S A C))}{d (H; (S A C))} = \frac{D K}{H K} = 2 \Rightarrow d (D; (S A C)) = 2 d (H; (S A C))$ .

Do đó $d (M; (S A C)) = d (H; (S A C))$ .

Trong (ABCD) kẻ $H E ⊥ A C (E \in A C)$ , trong (SHE) kẻ $H N ⊥ S E (N \in S E)$ ta có:

$\{\begin{cases} A C ⊥ H E \\ A C ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow A C ⊥ (S H E) \Rightarrow A C ⊥ H N$

$\{\begin{cases} H N ⊥ S E \\ H N ⊥ A C \end{cases} \Rightarrow H N ⊥ (S A C) \Rightarrow d (H; (S A C)) = H N$

Vì $S H ⊥ (A B C D)$ nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD).

$\Rightarrow ∠ (S C; (A B C D)) = ∠ (S C; H C) = ∠ S C H = 45^{0}$ .

$\Rightarrow Δ S H C$ vuông tại $H \Rightarrow S H = H C = \sqrt{B C^{2} + B H^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{17}}{2}$

Ta có: $S_{H A C} = \frac{1}{2} H E . A C = \frac{1}{2} S_{A B C}$

$\Rightarrow H E . A C = \frac{1}{2} . A B . B C$

$\Rightarrow H E = \frac{\frac{1}{2} . A B . B C}{A C} = \frac{\frac{1}{2} . a .2 a}{\sqrt{a^{2} + {(2 a)}^{2}}} = \frac{a}{\sqrt{5}}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHE ta có:

Nên $H N = \frac{S H . H E}{\sqrt{S H^{2} + H E^{2}}} = \frac{\frac{a \sqrt{17}}{2} . \frac{a}{\sqrt{5}}}{\sqrt{\frac{17 a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{5}}} = \frac{a \sqrt{1513}}{89}$ .

Vậy $d (M; (S A C)) = \frac{a \sqrt{1513}}{89} .$

Chọn A.

Bình luận

Câu 1:

Tập hợp T gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập con có 3 phần tử của tập hợp T là

A. $\frac{7!}{3!}$

B. $A_{7}^{3}$

C. 21

D. $C_{7}^{3}$

Xem đáp án » 26/04/2022 3,140

Câu 2:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị của hàm số f'(x) như hình vẽ và f(b) = 1. Số giá trị nguyên của $m \in [- 5; 5]$ để hàm số $g (x) = |f^{2} (x) + 4 f (x) + m|$ có đúng 5 điểm cực trị là:

A. 10

B. 9

C. 7

D. 8

Xem đáp án » 03/05/2022 2,619

Câu 3:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ${(a - 2)}^{2} + {(b - 2)}^{2} + {(c - 2)}^{2} = 8$ và $2^{a} = 7^{b} = 14^{- c} .$ Tổng $2^{a + b + c}$ bằng:

A. $4$

B. $\frac{1}{8}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 8

Xem đáp án » 02/05/2022 2,371

Câu 4:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $x^{4} + \frac{16}{x^{4}} + 4 (x^{2} + \frac{4}{x^{2}}) - 12 (x - \frac{2}{x}) - m = 0$ có nghiệm thuộc [1; 2]?

A. 25

B. 26

C. 28

D. 24

Xem đáp án » 02/05/2022 2,153

Câu 5:

Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|.

A. |z| = 5

B. |z| = 3

C. |z| = 2

D. $|z| = \sqrt{5}$

Xem đáp án » 02/05/2022 1,340

Câu 6:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{e^{- 2 x} + m}{m e^{- 2 x} + 1}$ đồng biến trên khoảng $(\ln 2; + \infty) .$

A. $[\begin{array}{l} m > 1 \\ - 4 \leq m < - 1 \end{array}$

B. m > 1

C. $- 4 \leq m < - 1$

D. $- 4 \leq m \leq - 1$

Xem đáp án » 02/05/2022 1,308

Câu 7:

Cho các số dương x, y thỏa mãn $2^{x^{3} - y + 1} = \frac{2 x + y}{2 x^{3} + 4 x + 4} .$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{7}{y} + \frac{x^{3}}{7} .$

A. $\frac{33}{7}$

B. $\frac{35}{14}$

C. $\frac{8}{7}$

D. $\frac{12}{7}$

Xem đáp án » 02/05/2022 647

Bình luận

Tập hợp T gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập con có 3 phần tử của tập hợp T là

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị của hàm số f'(x) như hình vẽ và f(b) = 1. Số giá trị nguyên của $m \in [- 5; 5]$ để hàm số $g (x) = |f^{2} (x) + 4 f (x) + m|$ có đúng 5 điểm cực trị là:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ${(a - 2)}^{2} + {(b - 2)}^{2} + {(c - 2)}^{2} = 8$ và $2^{a} = 7^{b} = 14^{- c} .$ Tổng $2^{a + b + c}$ bằng:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $x^{4} + \frac{16}{x^{4}} + 4 (x^{2} + \frac{4}{x^{2}}) - 12 (x - \frac{2}{x}) - m = 0$ có nghiệm thuộc [1; 2]?

Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{e^{- 2 x} + m}{m e^{- 2 x} + 1}$ đồng biến trên khoảng $(\ln 2; + \infty) .$

Cho các số dương x, y thỏa mãn $2^{x^{3} - y + 1} = \frac{2 x + y}{2 x^{3} + 4 x + 4} .$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{7}{y} + \frac{x^{3}}{7} .$

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Bình luận

Tập hợp T gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập con có 3 phần tử của tập hợp T là

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị của hàm số f'(x) như hình vẽ và f(b) = 1. Số giá trị nguyên của m∈−5;5 để hàm số gx=f2x+4fx+m có đúng 5 điểm cực trị là:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a−22+b−22+c−22=8 và 2a=7b=14−c. Tổng 2a+b+c bằng:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x4+16x4+4x2+4x2−12x−2x−m=0 có nghiệm thuộc [1; 2]?

Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=e−2x+mme−2x+1 đồng biến trên khoảng ln2;+∞.

Cho các số dương x, y thỏa mãn 2x3−y+1=2x+y2x3+4x+4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=7y+x37.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị của hàm số f'(x) như hình vẽ và f(b) = 1. Số giá trị nguyên của $m \in [- 5; 5]$ để hàm số $g (x) = |f^{2} (x) + 4 f (x) + m|$ có đúng 5 điểm cực trị là:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ${(a - 2)}^{2} + {(b - 2)}^{2} + {(c - 2)}^{2} = 8$ và $2^{a} = 7^{b} = 14^{- c} .$ Tổng $2^{a + b + c}$ bằng:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $x^{4} + \frac{16}{x^{4}} + 4 (x^{2} + \frac{4}{x^{2}}) - 12 (x - \frac{2}{x}) - m = 0$ có nghiệm thuộc [1; 2]?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{e^{- 2 x} + m}{m e^{- 2 x} + 1}$ đồng biến trên khoảng $(\ln 2; + \infty) .$

Cho các số dương x, y thỏa mãn $2^{x^{3} - y + 1} = \frac{2 x + y}{2 x^{3} + 4 x + 4} .$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{7}{y} + \frac{x^{3}}{7} .$