Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $ℝ,$ hàm số y = f'(x) liên tục trên $ℝ,$ hàm số $y=f\text{'}\left(x+2021\right)$ cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ a, b, c là các số nguyên và có đồ thị như hình vẽ.

Gọi $m_1$ là số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=g\left(x\right)=f\left(x^2-2x+m\right)$ nghịch biến trên khoảng (1; 2); $m_2$ là số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=h\left(x\right)=f\left(x^2-4x+m\right)$ đồng biến trên khoảng (1; 2). Khi đó $m_1+m_2$ bằng:

Phương pháp:

- Xác định khoảng của x ứng với $f\text{'}\left(x+2021\right)\le 0.$

- Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng (1; 2) nên $g\text{'}\left(x\right)\le 0\forall x\in \left(1;2\right)$.

- Đưa về bài toán giải các bất phương trình nghiệm đúng. Từ đó tìm $m_1.$

- Tương tự với hàm số h(x) tìm $m_2.$

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f\text{'}\left(x+2021\right)\le 0\iff a\le x+2021\le b\Rightarrow a-2021\le x\le b-2021$

Xét hàm số $y=g\left(x\right)=f\left(x^2-2x+m\right)$ có $g\text{'}\left(x\right)=2\left(x-1\right).f\text{'}\left(x^2-2x+m\right)$

Vì y = g(x) nghịch biến trên khoảng (1; 2) nên

$2\left(x-1\right).f\text{'}\left(x^2-2x+m\right)\le 0\forall x\le \left(1;2\right)$

$\Rightarrow f\text{'}\left(x^2-2x+m\right)\le 0\forall x\in \left(1;2\right)$

$\iff a-2021\le x^2-2x+m\le b-2021\forall x\in \left(1;2\right)$

Xét $a-2021\le x^2-2x+m\forall x\in \left(1;2\right)$

$\Rightarrow x^2-2x+2021\ge a-m$

$\Rightarrow \underset{\left[1;2\right]}{\min }\left(x^2-2x+2021\right)\ge a-m$

Hàm số $y=x^2-2x+2021$ đồng biến trên [1; 2] do đó $\underset{\left[1;2\right]}{\min }\left(x^2-2x+2021\right)=1^2-2.1+2021=2020$

$\Rightarrow 2020\ge a-m\Rightarrow m\ge a-2020\left(1\right).$

Tương tự $x^2-2x+m\le b-2021\forall x\in \left(1;2\right)$ ta có $m\le b-2021\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có $a-2020\le m\le b-2021\Rightarrow m_1=b-a.$

Chứng minh tương tự với hàm h(x) ta có $m_2=b-a.$

Vậy $m_1+m_2=2b-2a.$

Chọn D.