Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1; 2; 1) và đi qua điểm A(0; 4; -1) là: 

Phương pháp:

- Sử dụng các công thức

${\log }_a{x}^m=m{\log }_{a}x\left(0<a\ne 1,x>0\right)$

${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}\left(0<a,b\ne 1\right)$

${\log }_a\left(xy\right)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y\left(0<a\ne 1,x,y>0\right).$

${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y\left(0<a\ne 1,x,y>0\right).$

- Tìm ${\log }_{2}a.{\log }_{2}b,{\log }_{2}a+{\log }_{2}b.$

- Sử dụng biến đổi ${\left(a-b\right)}^2={\left(a+b\right)}^2-4ab.$

Cách giải:

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{\log }_{2}a={\log }_{b}16\\ ab=64\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\log }_{2}a=4{\log }_{b}2=\frac{4}{{\log }_{2}b}\\ {\log }_2\left(ab\right)={\log }_{2}64=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\log }_{2}a.{\log }_{2}b=4\\ {\log }_{2}a+{\log }_{2}b=6\end{array}\right.$

Vậy ${\left({\log }_2\frac{a}{b}\right)}^2={\left({\log }_{2}a-{\log }_{2}b\right)}^2={\left({\log }_{2}a+{\log }_{2}b\right)}^2-4{\log }_{2}a.{\log }_{2}b=6^2-4.4=20.$

Chọn B.

Phương pháp:

- Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên (P), BC Chứng minh $AH\le AK\Rightarrow d{\left(A;\left(P\right)\right)}_{\max }=AK.$

- Viết phương trình đường thẳng K tham số hóa tọa độ điểm $K\in BC.$

- Sử dụng $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BC}=0$ tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{AK}.$

Cách giải:

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên (P), BC.

Ta có $AH\perp \left(P\right)\Rightarrow AH\perp HK\Rightarrow \Delta AHK$ vuông tại $H\Rightarrow AH\le AK$ hay $d\left(A;\left(P\right)\right)\le d\left(A;BC\right)$.

Do đó d(A; (P)) lớn nhất khi $AH\equiv AK\Rightarrow H\equiv K.$

Ta có $\overrightarrow{BC}=\left(0;-1;2\right)\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $BC:\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1-t\\ z=2t\end{array}\right.$

Vì $K\in BC\Rightarrow K\left(2;1-t;2t\right)\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\left(1;-t;2t-1\right).$

Ta có $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BC}=0\iff 1.0+t+2\left(2t-1\right)=0\iff t=\frac{2}{5}\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\left(1;-\frac{2}{5};-\frac{1}{5}\right)//\left(5;-2;-1\right).$

Vậy khi d(A; (P)) lớn nhất thì (P) có 1 VTPT $\overrightarrow{n}=\left(5;-2;-1\right).$

Chọn D.