Cho hình trụ có chiều cao bằng $5\sqrt{3}.$Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:

Phương pháp:

- Giả sử cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD, với AD là chiều cao của hình trụ.

- Sử dụng giả thiết thiết diện thu được có diện tích bằng 30 tính CD.

- Gọi H là trung điểm của CD chứng minh $d\left(OO\text{'};\left(ABCD\right)\right)=O\text{'}H.$

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính bán kính đáy hình trụ.

- Diện tích xung quanh khối trụ có chiều cao h bán kính đáy r là $S_{xq}=2\pi rh.$

Cách giải:

Giả sử cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

Gọi H là trung điểm của CD ta có $O\text{'}H\perp \left(ABCD\right)$ nên $d\left(OO\text{'};\left(ABCD\right)\right)=O\text{'}H=1.$

Vì hình trụ có chiều cao bằng $5\sqrt{3}\Rightarrow AD=5\sqrt{3}.$ Mà $S_{ABCD}=AD.CD=30\Rightarrow CD=2\sqrt{3}\Rightarrow CH=\sqrt{3}.$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O'HC có: $O\text{'}C=\sqrt{O\text{'}{H}^2+H{C}^2}=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=2.$

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rh=2\pi \mathrm{.2.5}\sqrt{3}=20\sqrt{3}\pi .$

Chọn D.