Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại $B,\text{ }\angle SAB=\angle SBC={90}^0,AB=a,BC=2a.$ Biết rằng góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng ${60}^0,$ thể tích khối chop đã cho bằng:

Phương pháp:

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC), chứng minh ABCH là hình chữ nhật.

- Xác định góc giữa SB và mặt đáy là góc giữa SB và hình chiếu vuông góc của SB lên mặt đáy, sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính SH.

- Tính thể tích $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{\Delta ABC}$.

Cách giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC).

Ta có

$\left\{\begin{array}{l}BC\perp SC\left(gt\right)\\ BC\perp SH\left(SH\perp \left(ABC\right)\right)\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SCH\right)\Rightarrow BC\perp CH$

$\left\{\begin{array}{l}SB\perp SA\left(gt\right)\\ AB\perp SH\left(SH\perp \left(ABC\right)\right)\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(SAH\right)\Rightarrow AB\perp AH$

$\Rightarrow ABCH$ là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).

Vì $SH\perp \left(ABC\right)$ nên HB là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC)

$\Rightarrow \angle \left(SB;\left(ABC\right)\right)=\angle \left(SB;HB\right)=\angle SBH={60}^0$.

Áp dụng định lí Pytago ta có: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{5},$ lại có ABCH là hình vuông nên $BH=AC=a\sqrt{5}.$

Xét tam giác vuông SBH có $SH=BH.\tan {30}^0=a\sqrt{15}.$

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{6}.a\sqrt{15}.a.2a=\frac{a^3\sqrt{15}}{3}.$

Chọn C.