Cho đồ thị hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^4-2x^2-1$ có 3 điểm cực trị là A, B, C. Biết M, N là hai điểm di động lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho diện tích tam giác ABC gấp 3 lần diện tích tam giác AMN. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  đi qua A, B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_1,V_2$  với $V_1<V_2.$   Tính tỉ số  $\frac{V_1}{V_2}.$

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục và nhận giá trị dương trên $\left[0;1\right].$ Biết $f\left(x\right).f\left(1-x\right)=1$ với $\forall x\in \left[0;1\right].$  Tính giá trị  $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{1+f\left(x\right)}$

Cho đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=\left[f\left(x+2018\right)+m^2\right]$ có 5 điểm cực trị?

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{2\cos x+3}{2\cos x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{3}\right).$   

Một kĩ sư được một công ty xăng dầu thuê thiết kế một mẫu bồn chứa xăng với thể tích V cho trước, hình dạng như hình bên, các kích thước r, h thay đổi sao cho nguyên vật liệu làm bồn xăng là ít nhất.

Người kĩ sư này phải thiết kế kích thước h như thế nào để đảm bảo được đúng yêu cầu mà công ty xăng dầu đã đưa ra?

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ 

Phương trình $\left|x^2-2x\right|\left(\left|x\right|-1\right)=m$  (với m là tham số thực) có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?