Cho hàm số fx liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1. Biết fx.f1−x=1 với ∀x∈0;1. Tính giá trị I=∫01dx1+fx A. 32. B. 12. C. 1 D. 2.

Đáp án B Ta có: 1+fx=fxf1−x+fx⇒fx1+fx=1f1−x+1 Xét I=∫01dx1+fx Đặt t=1−x⇒x=1−t⇒dx=−dt. Đổi cận: x=0⇒t=1x=1⇒t=0. Khi đó I=−∫10dt1+f1−t=∫01dt1+f1−t=∫01dx1+f1−x=∫01fx1+fxdx. Mặt khác ∫01dx1+fx+∫01fx1+fxdx=∫011+fx1+fxdx=∫01dx=1 hay 2I=1. Vậy I=12.

Câu hỏi:

17/05/2022 4,070

Cho hàm số $f (x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên $[0; 1] .$ Biết $f (x) . f (1 - x) = 1$ với $\forall x \in [0; 1] .$ Tính giá trị $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)}$

\frac{3}{2} .

\frac{1}{2} .

C. 1

D. 2.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Ta có: $1 + f (x) = f (x) f (1 - x) + f (x) \Rightarrow \frac{f (x)}{1 + f (x)} = \frac{1}{f (1 - x) + 1}$

Xét $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)}$

Đặt $t = 1 - x \Rightarrow x = 1 - t \Rightarrow d x = - d t .$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{cases} .$

Khi đó $I = - \int_{1}^{0} \frac{d t}{1 + f (1 - t)} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + f (1 - t)} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (1 - x)} = \int_{0}^{1} \frac{f (x)}{1 + f (x)} d x .$

Mặt khác $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)} + \int_{0}^{1} \frac{f (x)}{1 + f (x)} d x = \int_{0}^{1} \frac{1 + f (x)}{1 + f (x)} d x = \int_{0}^{1} d x = 1$ hay $2 I = 1.$

Vậy $I = \frac{1}{2} .$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng $(α)$ đi qua A, B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng $(α)$ chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_{1}, V_{2}$ với $V_{1} < V_{2} .$ Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}} .$

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4} .

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{8} .

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{5}{8} .

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{5} .$

Lời giải

Đáp án D

Kẻ $M N / / C D (N \in C D)$ , suy ra ABMN là thiết diện của khối chóp.

Ta có $V_{S . A B M N} = V_{S . A B M} + V_{S . A M N} .$ $\frac{V_{S . A B M}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S C} = \frac{1}{2} \Rightarrow V_{S . A B M} = \frac{1}{2} V_{S . A B C} = \frac{1}{4} V_{S . A B C D}$ $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A C D}} = \frac{S M}{S C} . \frac{S N}{S D} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{S . A M N} = \frac{1}{8} V_{S . A B C D} .$

Do đó $V_{S . A B M N} = \frac{1}{4} V_{S . A B C D} + \frac{1}{8} V_{S . A B C D} = \frac{3}{8} V_{S . A B C D}$

Suy ra $V_{A B M N D C} = \frac{5}{8} V_{S . A B C D}$ nên $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{5} .$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng đi qua A, B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là với Tính tỉ số (ảnh 1)

Câu 2

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = [f (x + 2018) + m^{2}]$ có 5 điểm cực trị?

A. 0.

B. 1

C. 2.

D. 3.

Lời giải

Đáp án C

Ta có hàm số $y = f (x + 2018)$ có đồ thị là hàm số $y = f (x)$ tịnh tiến sang trái 2018 đơn vị.

Hàm số $y = f (x + 2018) + m^{2}$ có đồ thị hàm số $y = f (x + 2018)$ tịnh tiến lên trên $m^{2}$ đơn vị.

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số $y = f (x)$ có 3 điểm cực trị.

Khi tịnh tiến sang trái 2018 đơn vị thì số điểm cực trị hàm số $y = f (x + 2018)$ vẫn là 3 điểm cực trị.

Để hàm số $y = |f (x + 2018) + m^{2}|$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y = f (x + 2018)$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt (trừ các điểm cực trị tiếp xúc với trục hoành).

$\Leftrightarrow 2 \leq m^{2} < 6 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{2} \leq m < \sqrt{6} \\ - \sqrt{6} < m \leq - \sqrt{2} \end{array} .$

Do $m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 2; 2\}$ .

Hàm số

Số điểm cực trị

Điều kiện

$y = f (|x|)$

$y = f (|x|) + f (m)$

$y = f (|x + m|)$

$y = f (|x| + m)$

$2 a + 1$

a là số điểm cực trị dương của $y = f (x)$

Câu 3

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{2 \cos x + 3}{2 \cos x - m}$ nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{π}{3}) .$

m > - 3.

[\begin{array}{l} m \leq - 3 \\ m \geq 2 \end{array} .

m < - 3.

[\begin{array}{l} - 3 < m \leq 1 \\ m \geq 2 \end{array} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$

$A . y = x^{3} - 2 x + 1 .$

$B . y = \frac{x + 1}{x - 2} .$

$C . y = \frac{x - 1}{x + 1} .$

$D . y = x^{3} + 3 x - 3 .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một kĩ sư được một công ty xăng dầu thuê thiết kế một mẫu bồn chứa xăng với thể tích V cho trước, hình dạng như hình bên, các kích thước r, h thay đổi sao cho nguyên vật liệu làm bồn xăng là ít nhất.

Người kĩ sư này phải thiết kế kích thước h như thế nào để đảm bảo được đúng yêu cầu mà công ty xăng dầu đã đưa ra?

h = 0.

h = \frac{\sqrt[3]{V}}{π} .

h = 2 \sqrt[3]{V} .

h = \frac{\sqrt[3]{V}}{2} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Phương trình $|x^{2} - 2 x| (|x| - 1) = m$ (với m là tham số thực) có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hàm số $f (x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên $[0; 1] .$ Biết $f (x) . f (1 - x) = 1$ với $\forall x \in [0; 1] .$ Tính giá trị $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)}$

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = [f (x + 2018) + m^{2}]$ có 5 điểm cực trị?

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{2 \cos x + 3}{2 \cos x - m}$ nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{π}{3}) .$

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$

Phương trình $|x^{2} - 2 x| (|x| - 1) = m$ (với m là tham số thực) có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?