Câu hỏi:

11/05/2022 272

Cho hàm số$y = {x^3} + (m - 1){x^2} - 3mx + 2m + 1$ có đồ thị $C (m)$ , biết rằng đồ thị$({C_m})$ luôn đi qua hai điểm cố định$A,\,B.$ Có bao nhiêu số nguyên dương $m$thuộc đoạn $\left[ { - 2020;2020} \right]$ để $({C_m})$ có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $AB$?

A.4041.

B. 2021.

C. 2019.

D. 2020.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hàm số được viết lại thành $\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)m + {x^3} - {x^2} + 1 - y = 0.$

Một điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định của đồ thị hàm số thì phương trình $\left( {x_0^2 - 3x_0^{} + 2} \right)m + x_0^3 - x_0^2 + 1 - {y_0} = 0$ phải nghiệm đúng với mọi $m,$ xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}x_0^2 - 3{x_0} + 2 = 0\\x_0^3 - x_0^2 + 1 - {y_0} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1;{y_0} = 1\\{x_0} = 2;{y_0} = 5\end{array} \right..$

Giả sử $A\left( {1;1} \right),B\left( {2;5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {1;4} \right)$ khi đó hệ số góc của đường thẳng $AB$ là $k = 4.$

Đặt $f\left( x \right) = {x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} - 3mx + 2m + 1$

Để trên đồ thị hàm số có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng $AB$ thì hệ số góc tại tiếp điểm phải bằng $k' = - \frac{1}{4}.$ Điều đó xảy ra khi và chỉ khi $f'\left( x \right) = - \frac{1}{4}$ có nghiệm.

Ta có $f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 3m.$

Phương trình $f'\left( x \right) = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow 3{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 3m = - \frac{1}{4}\left( 1 \right).$

Phương trình (1) có nghiệm khi $\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 7 - 4\sqrt 3 }}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{{ - 7 + 4\sqrt 3 }}{2}; + \infty } \right).$

Với $\frac{{ - 7 + 4\sqrt 3 }}{2} \approx - 0,03$ nên các số nguyên dương $m \in \left[ { - 2020;2020} \right]$ là $\left\{ {1;2;3;...;2020} \right\}.$

Vậy có 2020 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án D

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình bên. Trong các giá trị $a$, $b$, $c$, $d$ có bao nhiêu giá trị dương?

A.4

B.3

C.2

D.1

Lời giải

Đáp án C.

Dựa vào xu hướng của đồ thị hàm số ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \Rightarrow a < 0$

Tại $x = 0 \Rightarrow y = d < 0$

$y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \Rightarrow y' = 3a{x^2} + 2bx + c.$

Xét thấy 2 điểm cực trị ${x_1} < 0$ và ${x_2} >0.$</>

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}} >0 \Rightarrow b >0\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} < 0 \Rightarrow c >0\end{array} \right.$</>

Vậy có 2 giá trị dương trong 4 giá trị $a,b,c,d.$

Câu 2

Số giá trị nguyên của tham số thực $m$ để hàm số $y = \frac{{mx - 2}}{{ - 2x + m}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{1}{2};\, + \infty } \right)$ là

A. $4$.

B. $3$.

C. $5$.

D. $2$.

Lời giải

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{m}{2}} \right\}.$

Ta có $y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( { - 2x + m} \right)}^2}}}.$

Để hàm số nghịch biến trên $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 < 0\\\frac{m}{2} \notin \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \left( { - 2;2} \right)\\m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( { - 2;1} \right].$

Suy ra có các số nguyên thỏa mãn là $\left\{ { - 1;0;1} \right\}.$

Đáp án C

Câu 3

Cho hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + m\] ( với m là tham số thực). Biết \[\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} f\left( x \right) = 5\] . Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$là

A. $\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = 1.$

B. \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = 2.\]

C. \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = 3.\]

D. \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = - 1.\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số \[y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\] (\[m\] là tham số thực) thoả mãn $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = \frac{9}{2}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \[0 < m \le 2\].

B. \[m \le 0\].

C. \[m >4\].

D. \[2 < m \le 4\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Hàm số $f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e$ có đồ thị như hình dưới đây. Số nghiệm của phương trình $f\left( {f\left( x \right)} \right) + 1 = 0$ là

A.3

B.5

C.6

D.4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số $g(x) = f({x^3} + f(x))$ là

A.11

B.9

C.8

D.10

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên của hàm số $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Tính tổng các giá trị nguyên của tham số $m \in \left( { - 10\,;\,10} \right)$ để hàm số $y = f\left( {3x - 1} \right) + {x^3} - 3mx$ đồng biến trên khoảng $\left( { - 2\,;\,1} \right)$?

A. $ - 49$.

B. $ - 39$.

C. $ - 35$.

D. $35$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay