Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?

a) Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm.

b) Mọi số tự nhiên đều là số dương.

c) Có sự sống ngoài Trái Đất.

d) Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động.

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:

a) $\forall x\in ℝ$ , x² ≠ 2x – 2;

b) $\forall x\in ℝ$ , x² ≤ 2x – 1;

c) $\exists x\in ℝ,x+\frac{1}{x}\ge 2$ ;

d) $\exists x\in ℝ$ , x² – x + 1 < 0.

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:

a) A: “  $\frac{5}{12}$ là một phân số”;

b) B: “Phương trình x² + 3x + 2 = 0 có nghiệm”;

c) C: “2² + 2³ = 2^{2 + 3}”;

d) D: “Số 2 025 chia hết cho 15”.

Hãy phát biểu một định lí toán học ở dạng mệnh đề kéo theo P ⇒ Q.

Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC đều”, Q: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng 60°”, hãy phát biểu hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P và xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề đó. Nếu cả hai mệnh đề trên đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.

Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC cân”;

Q: “Tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.

Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng bốn cách.

Dùng kí hiệu “$\forall$ ” hoặc “$\exists$ ” để viết các mệnh đề sau:

a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó;

b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó.