Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn $\left|f\left(x+h\right)-f\left(x-h\right)\right|\le h^2,\forall x\in ℝ,\forall h>0$ . Đặt $g\left(x\right)={\left[x+f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2019}+{\left[x+f\text{'}\left(x\right)\right]}^{29-m}-\left(m^4-29m^2+100\right){\sin }^{2}x-1$ , m là tham số nguyên và m<27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số g(x) đạt cực tiểu tại x=0. Tính tổng bình phương các phần tử của S.

Đáp án A

Từ giả thiết ta có:  $\frac{\left|f\left(x+2h\right)-f\left(x\right)\right|}{\left(x+2h\right)-x}\le \frac{h}{2},\forall h>0$ .

$\Rightarrow 0\le \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left|f\left(x+2h\right)-f\left(x\right)\right|}{\left(x+2h\right)-x}\le \underset{h\to 0}{\lim }\frac{h}{2}=0\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\mathrm{0,}\forall x\in ℝ\Rightarrow f\left(x\right)=C$(C là hằng số).

Ta có: $\begin{array}{l}g\text{'}\left(x\right)=2019{\left[x+f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2018}\left[1+f\text{'}\text{'}\left(x\right)\right]+\left(29-m\right){\left[x+f\text{'}\left(x\right)\right]}^{28-m}\left[1+f\text{'}\text{'}\left(x\right)\right]-\left(m^4-29m^2+100\right)\sin 2x\\ =2019x^{2018}+\left(29-m\right)x^{28-m}-\left(m^4-29m^2+100\right)\sin 2x\end{array}$

$g\text{'}\text{'}\left(x\right)=\mathrm{2019.2018.}{x}^{2017}+\left(29-m\right)\left(28-m\right)x^{27-m}-2\left(m^4-29m^2+100\right)\cos 2x$.

Khi đó: $\begin{array}{l}g\text{'}\left(0\right)=0;g\text{'}\text{'}\left(0\right)=-2\left(m^4-29m^2+100\right).\\ g\text{'}\text{'}\left(0\right)>0\iff m^4-29m^2+100<0\iff 4<m^2<25\iff \left[\begin{array}{l}-5<m<-2\\ 2<m<5\end{array}\right..\end{array}$

TH1: m=2, ta có:$g\text{'}\left(x\right)=2019x^{2018}+27x^{26}=x^{26}\left(2019x^{1992}+27\right)$ .

Vì x=0 là nghiệm bội chẵn của phương trình g'(x)=0   nên trường hợp này loại.

TH2: m=5 ta có: $g\text{'}\left(x\right)=2019x^{2018}+24x^{23}=x^{23}\left(2019x^{1995}+24\right)$ .

TH3: m=-2, ta có: $g\text{'}\left(x\right)=2019x^{2018}+31x^{30}=x^{30}\left(2019x^{1988}+31\right)$ .

Vì x=0 là nghiệm bội chẵn của phương trình g'(x)  nên m=-2 không thỏa mãn.

TH4:m=5  ta có: $g\text{'}\left(x\right)=2019x^{2018}+24x^{23}=x^{23}\left(2019x^{1995}+24\right)$ .

Do  đổi dấu từ âm sang dương khi qua  nên hàm số  đạt cực tiểu tại .

TH5: ta có: .

Do g'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x=0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0.

Vậy $m\in S=\left\{-5;-4;-3;3;4;5\right\}$  nên tổng các bình phương của các phần tử của S là 100.