Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0)=0. Biết ∫01f2xdx=92 và ∫01f'xcosπx2dx=3π4 . Tích phân ∫01fxdx bằng. A. 6π. B. 2π. C. 4π. D. 1π.

Đáp án A Đặt u=cosπx2dv=f'xdx⇒du=−π2sinπx2dxv=fx. Suy ra ∫01f'xcosπx2dx=cosπx2fx10+π2∫01fxsinπx2dx=f1.cosπ2−f0.cos0+π2∫01fxsinπx2dx=π2∫01fxsinπx2dx=3π4⇒∫01fxsinπx2dx=32. Xét tích phân ∫01fx+ksinπx22dx=0 ⇔∫01f2x+2kfxsinπx2+k2sin2πx2dx=0⇔∫01f2xdx+2k∫01fxsinπx2+k2∫01sin2πx2dx=0⇔92+2k32+12k2=0⇔k=−3. Khi đó ta có: ∫01fx−3sinπx22dx=0⇔fx−3sinπx2=0⇔fx=3sinπx2 . Vậy ∫01fxdx=3∫01sinπx2dx=−3.cosπx2π210=−6πcosπx210=−6πcosπ2−cos0=6π.

Câu hỏi:

19/05/2022 241

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0)=0. Biết $\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = \frac{9}{2}$ và $\int_{0}^{1} f' (x) \cos \frac{π x}{2} d x = \frac{3 π}{4}$ . Tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng.

A.

\frac{6}{π} .

Đáp án chính xác

B.

\frac{2}{π} .

C.

\frac{4}{π} .

D.

\frac{1}{π} .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Đặt $\{\begin{cases} u = \cos \frac{π x}{2} \\ d v = f' (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = - \frac{π}{2} \sin \frac{π x}{2} d x \\ v = f (x) \end{cases} .$

Suy ra $\begin{array}{l} \int_{0}^{1} f' (x) \cos \frac{π x}{2} d x = \cos \frac{π x}{2} f (x) |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array} + \frac{π}{2} \int_{0}^{1} f (x) \sin \frac{π x}{2} d x \\ = f (1) . \cos \frac{π}{2} - f (0) . \cos 0 + \frac{π}{2} \int_{0}^{1} f (x) \sin \frac{π x}{2} d x \\ = \frac{π}{2} \int_{0}^{1} f (x) \sin \frac{π x}{2} d x = \frac{3 π}{4} \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) \sin \frac{π x}{2} d x = \frac{3}{2} . \end{array}$

Xét tích phân $\int_{0}^{1} {[f (x) + k \sin \frac{π x}{2}]}^{2} d x = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int_{0}^{1} [f^{2} (x) + 2 k f (x) \sin \frac{π x}{2} + k^{2} \sin^{2} \frac{π x}{2}] d x = 0 \\ \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x + 2 k \int_{0}^{1} f (x) \sin \frac{π x}{2} + k^{2} \int_{0}^{1} \sin^{2} \frac{π x}{2} d x = 0 \Leftrightarrow \frac{9}{2} + 2 k \frac{3}{2} + \frac{1}{2} k^{2} = 0 \Leftrightarrow k = - 3. \end{array}$

Khi đó ta có: $\int_{0}^{1} {[f (x) - 3 \sin \frac{π x}{2}]}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow f (x) - 3 \sin \frac{π x}{2} = 0 \Leftrightarrow f (x) = 3 \sin \frac{π x}{2}$ .

Vậy

\int_{0}^{1} f (x) d x = 3 \int_{0}^{1} \sin \frac{π x}{2} d x = - 3. \frac{\cos \frac{π x}{2}}{\frac{π}{2}} |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array} = \frac{- 6}{π} \cos \frac{π x}{2} |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array} = - \frac{6}{π} (\cos \frac{π}{2} - \cos 0) = \frac{6}{π} .

Bình luận

Câu 1:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (2 m - 1) x + 1$ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2?

A.

m = 0, m = 2.

B.

m = 1.

C.

m = 0.

D.

m = 2.

Xem đáp án » 19/05/2022 8,116

Câu 2:

Có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số $y = \frac{m x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ có đúng hai đường tiệm cận?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án » 17/05/2022 6,169

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) góc $30 °$ . Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SDC) theo a.

A.

d = \frac{2 a \sqrt{21}}{21} .

B.

d = \frac{a \sqrt{21}}{7} .

C.

d = a .

D.

d = a \sqrt{3} .

Xem đáp án » 18/05/2022 5,931

Câu 4:

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in (- 10; 10)$ để $f (\sqrt{x^{2} + 2 x + 10}) - 3 = m$ có nghiệm?

A. 8.

B. 6.

C. 9.

D. 7.

Xem đáp án » 19/05/2022 4,498

Câu 5:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = |\frac{1}{4} x^{4} - \frac{19}{2} x^{2} + 30 x + m|$ trên đoạn $[0; 2]$ đạt giá trị nhỏ nhất?

A. 2.

B. 3.

C. 0.

D. 1.

Xem đáp án » 19/05/2022 3,391

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình của các mặt phẳng song song với mặt phẳng $(β) : x + y - z + 3 = 0$ và cách $(β)$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$ .

A.

x + y - z + 6 = 0

và

x + y - z = 0

.

B.

x + y - z + 6 = 0

.

C.

x - y - z + 6 = 0

và

x - y - z = 0

.

D.

x + y + z + 6 = 0

và

x + y + z = 0

.

Xem đáp án » 17/05/2022 2,606

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC=2a . Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), cạnh $S A = a \sqrt{15}$ . Tính góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABD).

A.

30 ° .

B.

45 ° .

C.

60 ° .

D.

90 ° .

Xem đáp án » 18/05/2022 2,175

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0)=0. Biết $\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = \frac{9}{2}$ và $\int_{0}^{1} f' (x) \cos \frac{π x}{2} d x = \frac{3 π}{4}$ . Tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (2 m - 1) x + 1$ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2?

Có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số $y = \frac{m x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ có đúng hai đường tiệm cận?

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in (- 10; 10)$ để $f (\sqrt{x^{2} + 2 x + 10}) - 3 = m$ có nghiệm?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = |\frac{1}{4} x^{4} - \frac{19}{2} x^{2} + 30 x + m|$ trên đoạn $[0; 2]$ đạt giá trị nhỏ nhất?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình của các mặt phẳng song song với mặt phẳng $(β) : x + y - z + 3 = 0$ và cách $(β)$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$ .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC=2a . Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), cạnh $S A = a \sqrt{15}$ . Tính góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABD).

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0)=0. Biết ∫01f2xdx=92 và ∫01f'xcosπx2dx=3π4 . Tích phân ∫01fxdx bằng.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=x3−3mx2+32m−1x+1 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2?

Có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số y=mx2−1x2−3x+2 có đúng hai đường tiệm cận?

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m∈−10;10 để fx2+2x+10−3=m có nghiệm?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y=14x4−192x2+30x+m trên đoạn 0;2 đạt giá trị nhỏ nhất?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình của các mặt phẳng song song với mặt phẳng β:x+y−z+3=0 và cách β một khoảng bằng 3 .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC=2a . Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), cạnh SA=a15 . Tính góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABD).

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0)=0. Biết $\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = \frac{9}{2}$ và $\int_{0}^{1} f' (x) \cos \frac{π x}{2} d x = \frac{3 π}{4}$ . Tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng.

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (2 m - 1) x + 1$ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2?

Có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số $y = \frac{m x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ có đúng hai đường tiệm cận?

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in (- 10; 10)$ để $f (\sqrt{x^{2} + 2 x + 10}) - 3 = m$ có nghiệm?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = |\frac{1}{4} x^{4} - \frac{19}{2} x^{2} + 30 x + m|$ trên đoạn $[0; 2]$ đạt giá trị nhỏ nhất?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình của các mặt phẳng song song với mặt phẳng $(β) : x + y - z + 3 = 0$ và cách $(β)$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$ .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC=2a . Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), cạnh $S A = a \sqrt{15}$ . Tính góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABD).