Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1;3), N(4;2).

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(1;1\right),\overrightarrow{AC}\left(-4;-1\right)$

Hai vecto $\overrightarrow{AB}\left(1;1\right),\overrightarrow{AC}\left(-4;-1\right)$ không cùng phương (vì $\frac{1}{-4}\ne \frac{1}{-1}$). Suy ra các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó A, B, C không thẳng hàng.

b) Gọi toạ độ điểm M là: M(x₁;y₁)

Vì M là trung điểm của AB nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{1+2}{2}\\ y_1=\frac{3+4}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{3}{2}\\ y_1=\frac{7}{2}\end{array}\right.\Rightarrow M\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right).$

Vậy điểm cần tìm là $M\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right)$.

c) Gọi toạ độ điểm G là: M(x₂;y₂)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{1+2+\left(-3\right)}{3}\\ y_2=\frac{3+4+2}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ y_1=3\end{array}\right.\Rightarrow G\left(0;3\right).$

Vậy tọa độ điểm G(0;3).

d) Để O(0;0) là tọa độ trọng tâm tam giác ABD thì:

$\left\{\begin{array}{l}0=\frac{1+2+x}{3}\\ 0=\frac{3+4+y}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+3=0\\ y+7=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-7\end{array}\right.$

Vậy D(-3;-7) thì O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.

a) Vì $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}$ nên $\overrightarrow{a}=\left(3;-2\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 2\overrightarrow{a}=\left(6;-4\right) \\ Có: 2\overrightarrow{a}=\left(6;-4\right) và \overrightarrow{b}=\left(4;-1\right) \\ \Rightarrow 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(6-4;-4+1\right)=\left(2;-3\right)=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j} \end{gathered}$$

Ta có: $\overrightarrow{MN}\left(6;-9\right)=6\overrightarrow{i}-9\overrightarrow{j}=3\left(2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}\right)=3\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$

b) Ta có

M(-3;6) $\Rightarrow \overrightarrow{OM}\left(-3;6\right)$

và N(3;-3) $\Rightarrow \overrightarrow{ON}\left(3;-3\right)$

Hai vecto $\overrightarrow{OM}\left(-3;6\right),\overrightarrow{ON}\left(3;-3\right)$ không cùng phương (vì $\frac{-3}{3}\ne \frac{6}{-3}$). Suy ra các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó O, M, N không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng

Để OMNP là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{PN}$

Ta có: $\overrightarrow{OM}\left(-3;6\right),\overrightarrow{PN}\left(3-x;-3-y\right)$ nên

$\left\{\begin{array}{l}-3=3-x\\ 6=-3-y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=-9\end{array}\right.\Rightarrow P\left(6;-9\right).$

Vậy điểm cần tìm là P(6;-9).