Có một mảnh bìa hình chữ nhật ABCD với $AB=4a,AD=2a$ . Người ta đánh dấu M là trung điểm của AB, N và P là các điểm thuộc CD sao cho$DN=CP=a$ . Sau đó người ta cuốn mảnh bìa lại sao cho cạnh BC trùng với cạnh AD tạo thành một hình trụ. Thể tích của tứ diện AMNP với các đỉnh A, M, N, P nằm trên hình trụ vừa tạo thành bằng:

Mặt cầu (S) có tâm $I\left(1;2;2\right)$  và bán kính R=3.

Gọi K là trung điểm của $MN\Rightarrow K\left(5;-2;4\right)$  và K nằm ngoài mặt cầu (S).

Do đó $\overrightarrow{IK}=\left(4;-4;2\right),\overrightarrow{MN}=\left(2;4;4\right),MN=6$  và $IK\perp MN$ .

Ta có$EM+EN\le \sqrt{2\left(E{M}^2+E{N}^2\right)}=\sqrt{2\left(E{K}^2+\frac{M{N}^2}{2}\right)}=\sqrt{2\text{E}{K}^2+36}$ .

Bởi vậy  đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi EM=EN và EK lớn nhất.

Vì $IK\perp MN$  nên EM=EN thì E thuộc đường thẳng $IK:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-2t\\ z=2+t\end{array}\right.$  .

Tọa độ giao điểm E của đường thẳng IK với mặt cầu (S) ứng với t là nghiệm phương trình:${\left(1+2t-1\right)}^2+{\left(2-2t-2\right)}^2+{\left(2+t-2\right)}^2=9\iff t=\pm 1$

.

Như vậy$E_1\left(3;0;3\right)$  hoặc $E_2\left(-1;4;1\right)$ .

Ta có $E_{1}K=3,{\text{ E}}_{2}K=9$ . Suy ra $E=\left(-1;4;1\right)\Rightarrow \overrightarrow{IE}=\left(-2;2;-1\right)$  , nên phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E có phương trình: $-2\left(x+1\right)+2\left(y-4\right)-1\left(z-1\right)=0$   hay $2\text{x}-2y+z+9=0$ .

Ta có $V_1=\pi \underset{0}{\overset{9}{\int }}{\left(\sqrt{x}\right)}^{2}d\text{x}=\frac{81\pi }{2}$ .

Gọi H là hình chiếu của M lên trục Ox, đặt OH = m (với $0<m\le 9$ ), ta có $M\left(m;\sqrt{m}\right)$ , $MH=\sqrt{m}$  và$AH=9-m$ .

Suy ra $V_2=\frac{1}{3}\pi .M{H}^2.OH+\frac{1}{3}\pi .M{H}^2.AH=\frac{1}{3}\pi .M{H}^2.OA=3m\pi$ .

Theo giả thiết, ta có $V_1=2V_2$  nên $\frac{81\pi }{2}=6m\pi \iff m=\frac{27}{4}$ . Do đó$M\left(\frac{27}{4};\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ .

Từ đó ta có phương trình đường thẳng OM là $y=\frac{2\sqrt{3}}{9}x$ .

Diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng OM là

$S=\underset{0}{\overset{\frac{27}{4}}{\int }}\left(\sqrt{x}-\frac{2\sqrt{3}}{9}x\right)d\text{x}={\left.\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}-\frac{\sqrt{3}}{9}{x}^2\right)\right|}_0^{\frac{27}{4}}=\frac{27\sqrt{3}}{16}$.