Cho đồ thị $\left(C\right):y=f\left(x\right)=\sqrt{x}$ . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), đường thẳng x=9 và trục Ox. Cho điểm M thuộc đồ thị (C) và điểm A(9;0). Gọi $V_1$  là thể tích khối tròn xoay khi cho (H) quay quanh trục Ox, $V_2$  là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox. Biết rằng $V_1=2V_2$ . Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng OM.

Mặt cầu (S) có tâm $I\left(1;2;2\right)$  và bán kính R=3.

Gọi K là trung điểm của $MN\Rightarrow K\left(5;-2;4\right)$  và K nằm ngoài mặt cầu (S).

Do đó $\overrightarrow{IK}=\left(4;-4;2\right),\overrightarrow{MN}=\left(2;4;4\right),MN=6$  và $IK\perp MN$ .

Ta có$EM+EN\le \sqrt{2\left(E{M}^2+E{N}^2\right)}=\sqrt{2\left(E{K}^2+\frac{M{N}^2}{2}\right)}=\sqrt{2\text{E}{K}^2+36}$ .

Bởi vậy  đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi EM=EN và EK lớn nhất.

Vì $IK\perp MN$  nên EM=EN thì E thuộc đường thẳng $IK:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-2t\\ z=2+t\end{array}\right.$  .

Tọa độ giao điểm E của đường thẳng IK với mặt cầu (S) ứng với t là nghiệm phương trình:${\left(1+2t-1\right)}^2+{\left(2-2t-2\right)}^2+{\left(2+t-2\right)}^2=9\iff t=\pm 1$

.

Như vậy$E_1\left(3;0;3\right)$  hoặc $E_2\left(-1;4;1\right)$ .

Ta có $E_{1}K=3,{\text{ E}}_{2}K=9$ . Suy ra $E=\left(-1;4;1\right)\Rightarrow \overrightarrow{IE}=\left(-2;2;-1\right)$  , nên phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E có phương trình: $-2\left(x+1\right)+2\left(y-4\right)-1\left(z-1\right)=0$   hay $2\text{x}-2y+z+9=0$ .

: Đặt $\text{z}=x+yi\Rightarrow \overline{z}=x-yi$  khi đó ta có:

$\left|z-1\right|\le 1\iff \left|\left(x+yi\right)-1\right|\le 1\iff \left|\left(x-1\right)+yi\right|\le 1\iff {\left(x-1\right)}^2+y^2\le 1$  (1).

Lại có $z-\overline{z}=\left(x+yi\right)-\left(x-yi\right)=2yi$  có phần ảo không âm suy ra  $y\ge 0$   (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra ra phần mặt phẳng biểu diễn số phức z là nửa hình tròn tâm I(1;0) bán kính r =1, diện tích của nó bằng $\frac{1}{2}{r}^2\pi =\frac{\pi }{2}$  (đvdt).