Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn 0<x+y2+y+z2+z+x2≤18 . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P=4x3+4y3+4z3−1108x+y+z4 làab , với a, b là các số nguyên dương và ab tối giản. Tính S=2a+3b . A....

Từ giả thiết ta có: 2x2≤2x2+y2+z2≤x+y2+y+z2+z+x2≤18⇒x∈0;3 . Một cách tương tự ta có y,z∈0;3 . Do đó ta có 4x3≤x+1,4y3≤y+1,4z3≤z+1;∀x,y,z∈0;3 . Vì vậyP≤x+y+z+3−1108x+y+z4 . Đặt t=x+y+z∈0;9 , ta có P≤ft=t+3−1108t4≤max0;9ft=f3=214 . Dấu “=” đặt tại x;y;z=3;0;0,0;3;0,0;0;3 . Vậy S=2.21+3.4=54 .

Câu hỏi:

22/05/2022 1,836

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn $0 < {(x + y)}^{2} + {(y + z)}^{2} + {(z + x)}^{2} \leq 18$ . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 4^{\frac{x}{3}} + 4^{\frac{y}{3}} + 4^{\frac{z}{3}} - \frac{1}{108} {(x + y + z)}^{4}$ là $\frac{a}{b}$ , với a, b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $S = 2 a + 3 b$ .

A. S = 13

B. S = 42

C. S = 54

D. S = 71

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Từ giả thiết ta có: $2 x^{2} \leq 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \leq {(x + y)}^{2} + {(y + z)}^{2} + {(z + x)}^{2} \leq 18 \Rightarrow x \in [0; 3]$ .

Một cách tương tự ta có $y, z \in [0; 3]$ .

Do đó ta có $4^{\frac{x}{3}} \leq x + 1, 4^{\frac{y}{3}} \leq y + 1, 4^{\frac{z}{3}} \leq z + 1; \forall x, y, z \in [0; 3]$ .

Vì vậy $P \leq x + y + z + 3 - \frac{1}{108} {(x + y + z)}^{4}$ .

Đặt $t = x + y + z \in [0; 9]$ , ta có $P \leq f (t) = t + 3 - \frac{1}{108} t^{4} \leq \max_{[0; 9]} f (t) = f (3) = \frac{21}{4}$ .

Dấu “=” đặt tại $(x; y; z) = (3; 0; 0), (0; 3; 0), (0; 0; 3)$ .

Vậy $S = 2.21 + 3.4 = 54$ .

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ và hai điểm $M (4; - 4; 2), N (6; 0; 6)$ . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu(S) sao cho EM+EN đạt giá trị lớn nhất. Phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E là

A. $x - 2 y + 2 z + 8 = 0$

B. $2 x + y - 2 z - 9 = 0$

C. $2 x + 2 y + z + 1 = 0$

D. $2 x - 2 y + z + 9 = 0$

Lời giải

Mặt cầu (S) có tâm $I (1; 2; 2)$ và bán kính R=3.

Gọi K là trung điểm của $M N \Rightarrow K (5; - 2; 4)$ và K nằm ngoài mặt cầu (S).

Do đó $\vec{I K} = (4; - 4; 2), \vec{M N} = (2; 4; 4), M N = 6$ và $I K ⊥ M N$ .

Ta có $E M + E N \leq \sqrt{2 (E M^{2} + E N^{2})} = \sqrt{2 (E K^{2} + \frac{M N^{2}}{2})} = \sqrt{2 E K^{2} + 36}$ .

Bởi vậy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi EM=EN và EK lớn nhất.

Vì $I K ⊥ M N$ nên EM=EN thì E thuộc đường thẳng $I K : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - 2 t \\ z = 2 + t \end{cases}$ .

Tọa độ giao điểm E của đường thẳng IK với mặt cầu (S) ứng với t là nghiệm phương trình: ${(1 + 2 t - 1)}^{2} + {(2 - 2 t - 2)}^{2} + {(2 + t - 2)}^{2} = 9 \Leftrightarrow t = \pm 1$

Như vậy $E_{1} (3; 0; 3)$ hoặc $E_{2} (- 1; 4; 1)$ .

Ta có $E_{1} K = 3, E_{2} K = 9$ . Suy ra $E = (- 1; 4; 1) \Rightarrow \vec{I E} = (- 2; 2; - 1)$ , nên phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E có phương trình: $- 2 (x + 1) + 2 (y - 4) - 1 (z - 1) = 0$ hay $2 x - 2 y + z + 9 = 0$ .

Câu 2

Một chậu nước hình nón cụt có chiều cao 3dm, bán kính đáy lớn là 2dm và bán kính đáy nhỏ là 1dm. Cho biết thể tích nước bằng $\frac{37}{189}$ thể tích của chậu, chiều cao của mực nước là

A. 2dm

B. 0,8dm

C. 1dm

D. 1,5dm

Lời giải

Ta có thể tích của chậu là $V = \frac{π}{3} .3 (1 + 4 + 2) = 7 π$ .

Gọi chiều cao của mực nước là 3x với (x>0 ). Ta có bán kính của mặt nước là 1+x.

Ta có phương trình $\frac{π}{3} .3 x [1 + {(1 + x)}^{2} + (1 + x)] = \frac{37}{189} 7 π \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$ .

Vậy chiều cao của mực nước là 1dm.

Câu 3

Cho đồ thị $(C) : y = f (x) = \sqrt{x}$ . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), đường thẳng x=9 và trục Ox. Cho điểm M thuộc đồ thị (C) và điểm A(9;0). Gọi $V_{1}$ là thể tích khối tròn xoay khi cho (H) quay quanh trục Ox, $V_{2}$ là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox. Biết rằng $V_{1} = 2 V_{2}$ . Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng OM.

A. $S = 3$

B. $S = \frac{27 \sqrt{3}}{16}$

C. $S = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Biết số phức z thỏa mãn $|z - 1| \leq 1$ và $z - \bar{z}$ có phần ảo không âm. Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích là

A. π

B. 2π

C. $π^{2}$

D. $\frac{π}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Có một mảnh bìa hình chữ nhật ABCD với $A B = 4 a, A D = 2 a$ . Người ta đánh dấu M là trung điểm của AB, N và P là các điểm thuộc CD sao cho $D N = C P = a$ . Sau đó người ta cuốn mảnh bìa lại sao cho cạnh BC trùng với cạnh AD tạo thành một hình trụ. Thể tích của tứ diện AMNP với các đỉnh A, M, N, P nằm trên hình trụ vừa tạo thành bằng:

A. $\frac{4 a^{3}}{3 π^{2}} .$

B. $\frac{8 a^{3}}{3 π^{2}} .$

C. $\frac{16 a^{3}}{3 π^{2}} .$

D. $\frac{32 a^{3}}{3 π^{2}} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau.

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số $y = g (x) = \frac{f^{2} (x)}{f (x) - m}$ có đúng 3 tiệm cận đứng?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ và hai điểm $M (4; - 4; 2), N (6; 0; 6)$ . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu(S) sao cho EM+EN đạt giá trị lớn nhất. Phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E là

Một chậu nước hình nón cụt có chiều cao 3dm, bán kính đáy lớn là 2dm và bán kính đáy nhỏ là 1dm. Cho biết thể tích nước bằng $\frac{37}{189}$ thể tích của chậu, chiều cao của mực nước là

Biết số phức z thỏa mãn $|z - 1| \leq 1$ và $z - \bar{z}$ có phần ảo không âm. Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích là

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau.

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số $y = g (x) = \frac{f^{2} (x)}{f (x) - m}$ có đúng 3 tiệm cận đứng?