Trong không gian Oxyz cho điểm M (1;2;3). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M cắt các trục tọa độ Ox;Oy;Oz lần lượt tại A,B,C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC là

Phương pháp giải: Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt \(Ox\,;\,Oy\,;\,Oz\) lần lượt tại \(A\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,B\left( {0\,;\,b\,;\,0} \right)\,,\,C\left( {0\,;\,0;\,c} \right)\,\,\left( {a\,,\,b\,,\,c\, \ne \,0} \right)\) thì có phương trình  \(\left( P \right)\,\,:\,\,\frac{x}{a}\, + \,\frac{y}{b}\, + \,\frac{z}{c}\, = \,1\)

Sử dụng công thức trọng tâm : \(M\) là trọng tâm \[\Delta \,ABC\] thì\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M}\, = \,\frac{{{x_A}\, + \,{x_B}\, + \,{x_C}}}{3}\\{y_M}\, = \,\frac{{{y_A}\, + \,{y_B}\, + \,{y_C}}}{3}\\{z_M}\, = \,\frac{{{z_A}\, + \,{z_B}\, + \,{z_C}}}{3}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

Theo đề bài ta có : \(A\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,B\left( {0\,;\,b\,;\,0} \right)\,,\,C\left( {0\,;\,0;\,c} \right)\,\,\left( {a\,,\,b\,,\,c\, \ne \,0} \right)\)

Vì \(M\) là trọng tâm \[\Delta \,ABC\] nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M}\, = \,\frac{{{x_A}\, + \,{x_B}\, + \,{x_C}}}{3}\\{y_M}\, = \,\frac{{{y_A}\, + \,{y_B}\, + \,{y_C}}}{3}\\{z_M}\, = \,\frac{{{z_A}\, + \,{z_B}\, + \,{z_C}}}{3}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}1\, = \,\frac{a}{3}\\2\, = \,\frac{b}{3}\\3\, = \,\frac{c}{3}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a\, = \,3\\b\, = \,6\\c\, = \,9\end{array} \right.\)

Suy ra \(A\left( {3\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,B\left( {0\,;\,6\,;\,0} \right)\,,\,C\left( {0\,;\,0;\,9} \right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\,\frac{x}{a}\, + \,\frac{y}{b}\, + \,\frac{z}{c}\, = \,1\, \Leftrightarrow \,6x\, + \,3y\, + \,2z\, - \,18\, = \,0\)
Chọn C.