Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2x+\mathrm{\hspace{0.17em}3}}.$ Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\). Khẳng định nào sau là sai?

Phương pháp giải: \(\int {\frac{1}{{ax\, + \,b}}dx\, = \,\frac{1}{a}\ln \left| {ax\, + \,b} \right|\, + \,C} \)

Giải chi tiết:

\(\int {f\left( x \right)dx\, = \,\int {\frac{1}{{2x\, + \,3}}dx\, = \,\frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {2x\, + \,3} \right)}}{{2x\, + \,3}}\, = \,\frac{{\ln \left| {2x\, + \,3} \right|}}{2}\, + \,C} } } \)

Khi \(C\, = \,1\, \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

Đáp án B: \(F\left( x \right)\, = \,\frac{{\ln {{\left| {2x\, + \,3} \right|}^2}}}{4}\, + \,3\, = \,\frac{{2\ln \left| {2x\, + \,3} \right|}}{4}\, + \,3\, = \,\frac{{\ln \left| {2x\, + \,3} \right|}}{2}\, + \,3\, \Rightarrow \,C\, = \,3\)

Đáp án D: 

\(F\left( x \right)\, = \,\frac{{\ln \left| {x\, + \,\frac{3}{2}} \right|}}{2}\, + \,4\, = \,\frac{{\ln \left| {2x\, + \,3} \right|\, - \,\ln 2}}{2}\, + \,4\, = \,\frac{{\ln \left| {2x\, + \,3} \right|}}{2}\, - \,\frac{{\ln 2}}{2}\, + \,4\, \Rightarrow \,C\, = \, - \frac{{\ln 2}}{2}\, + \,4\)

\( \Rightarrow \,F\left( x \right)\, = \,\frac{{\ln \left| {4x\, + \,6} \right|}}{4}\, + \,2\) là khẳng định sai

Chọn C.