Tập hợp các giá trị m để hàm số $y=\frac{x^3}{3}-(m+\mathrm{\hspace{0.17em}5})\frac{x^2}{2}+\mathrm{\hspace{0.17em}5}mx+\mathrm{\hspace{0.17em}1}$ đồng biến trên \(\left( {6\,;\,7} \right)\) là

Phương pháp giải: Hàm số \(y\, = \,f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a\,;\,b} \right)\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right)\, \ge \,0\,\forall x\, \in \,\left( {a\,;\,b} \right)\)và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D\, = \,\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'\, = \,{x^2}\, - \,\left( {m\, + \,5} \right)x\, + \,5m.\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {6\,;\,7} \right)\) thì \(y'\, \ge \,0\,\forall x\, \in \,\left( {6\,;\,7} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \,{x^2}\, - \,\left( {m\, + \,5} \right)x\, + \,5m\, \ge \,0\,\forall x\, \in \,\left( {6\,;\,7} \right)\\ \Leftrightarrow \,{x^2}\, - \,mx\, - \,5x\, + \,5m\, \ge \,0\,\forall x\, \in \,\left( {6\,;\,7} \right)\\ \Leftrightarrow \,x\left( {x\, - \,m} \right)\, - \,5\left( {x\, - \,m} \right)\, \ge \,0\,\forall x\, \in \,\left( {6\,;\,7} \right)\\ \Leftrightarrow \,\left( {x\, - \,m} \right)\left( {x\, - \,5} \right)\, \ge \,0\,\forall x\, \in \,\left( {6\,;\,7} \right)\end{array}\)

Do \(x\, \in \,\left( {6\,;\,7} \right)\) nên \(x\, - \,5\, > \,0\), khi đó ta có: \(x\, - \,m\, \ge \,0\,\forall x\, \in \,\left( {6\,;\,7} \right)\)

\( \Leftrightarrow \,m\, \le \,x\,\forall x\, \in \,\left( {6\,;\,7} \right)\, \Leftrightarrow \,m\, \le \,6\)

Vậy \(m\, \in \,\left( { - \infty \,;\,6} \right]\)

Đáp án B.