Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right)\,:\,2x\, - \,2y\, + \,z\, + \,2021\, = \,0\) và đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-\mathrm{\hspace{0.17em}2}}{1}=\frac{z+\mathrm{\hspace{0.17em}6}}{-2}$. Mặt phẳng \(\left( Q \right)\,:\,ax\, + \,by\, + \,cz\, - \,14\, = \,0,\,\,a\,,\,b\,,\,c\, \in \,\mathbb{Z}\,\) chứa đường thẳng \(d\)và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tính \(a\, + \,b\, + \,c\).

Phương pháp giải: -  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d \subset \left( Q \right)}\\{\left( P \right) \bot \left( Q \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_d}} \, \bot \,\overrightarrow {{n_Q}} }\\{\overrightarrow {{n_P}} \, \bot \,\overrightarrow {{n_Q}} }\end{array}\,} \right.\, \Rightarrow \,\overrightarrow {{n_Q}} \, = \,\left[ {\overrightarrow {{u_d}} \,,\,\overrightarrow {{n_P}} \,} \right]\]

- Lấy \[M \in d\]bất kỳ suy ra \[M \in \left( Q \right)\]

- Viết phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right)\]đi qua \[M\]và có 1 VTPT \[\overrightarrow {{n_Q}} \,\]vừa tìm được

- Biến đổi về đúng dạng \[\left( Q \right):ax + by + cz - 14 = 0\], đồng nhất hệ số tìm \[a,b,c\]

Giải chi tiết:

Đường thẳng  \[d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 6}}{{ - 2}}\]có 1 VTCP là \[\overrightarrow {{u_d}} \,\, = \,(\,1\,;\,1\,;\, - 2)\]

Mặt phẳng \[\left( P \right):2x - 2y + z + 2021 = 0\]có 1 VTPT là \[\overrightarrow {{n_P}} \, = \,(2\,;\, - 2\,;\,1)\]

Vì \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d \subset \left( Q \right)}\\{\left( P \right) \bot \left( Q \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_d}} \, \bot \,\overrightarrow {{n_Q}} }\\{\overrightarrow {{n_P}} \, \bot \,\overrightarrow {{n_Q}} }\end{array}\,} \right.\, \Rightarrow \,\overrightarrow {{n_Q}} \, = \,\left[ {\overrightarrow {{u_d}} \,,\,\overrightarrow {{n_P}} \,} \right]\, = \,( - 3\,;\, - 5\,;\, - 4)\]

Ta có \[M\left( {0;2; - 6} \right) \in d\]. Vì \[d \subset \left( Q \right)\] \[ \Rightarrow M \in \left( Q \right)\]

Suy ra phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right)\]là:

\[ - 3x\,\, - \,\,5(y\,\, - \,\,2)\,\, - \,\,4(z\,\, + \,\,6)\, = \,0\, \Leftrightarrow \,\, - 3x\, - \,\,5y\,\, - \,\,4z\,\, - \,\,14\,\, = \,\,0\]

$\Rightarrow a=\mathrm{ }-3.b=\mathrm{ }-5,c=-4$

Vậy $a+b+c=\mathrm{ }-3-5-4=\mathrm{ }-12$

Chọn A