Tam giác mà ba đỉnh của nó là trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác $A_1{B}_1{C}_1,A_2{B}_2{C}_2,A_3{B}_3{C}_3,...$  sao cho tam giác $A_1{B}_1{C}_1$  là tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương $n\ge 2$ , tam giác $A_n{B}_n{C}_n$  là tam giác trung bình của tam giác $A_{n-1}{B}_{n-1}{C}_{n-1}$ . Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu  tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $A_n{B}_n{C}_n$ . Tính tổng$S=S_1+S_2+\mathrm{...}+S_n+\mathrm{...}$

Theo thống kê tại một nhà máy Z, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 công nhân đi làm và mỗi công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ. Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là $P\left(x\right)=\frac{95x^2+120x}{4}$ , với x là thời gian làm việc trong một tuần. Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần mấy giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất?

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với $u_2=2$ và $u_4=18$ . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  xác định trên $ℝ\backslash \left\{1\right\}$  thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x-1},f\left(0\right)=2017,f\left(2\right)=2018$ . Tính $S=f\left(3\right)-f\left(-1\right)$ .

Cho hình chữ nhật ABCD có $AB=2BC=2a$. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ABCD quanh trục AB.

Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm được cho bởi công thức $f\left(v\right)=\frac{290,4v}{0,36v^2+13,2v+264}$ (xe/ giây), trong đó  là vận tốc trung bình của các xe ô tô khi vào đường hầm. Gọi $v_0$  vận tốc trung bình của các xe ô tô khi vào đường hầm sao cho lưu lượng xe là lớn nhất. Giá trị của $v_0$  xấp xỉ giá trị nào sau đây nhất?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm là điểm I(-1;2;-3) và tiếp xúc với trục Ox. Phương trình của (S) là: