Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông với \(AB\, = \,AC\, = \,2\). Cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA\, = \,3\). Gọi \(M\)là trung điểm của SC.

Tính khoảng cách giữa AM và BC.

Phương pháp giải: - Sử dụng: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường này đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia

- Sử dụng: \({\left[ {\left( {\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \right)} \right]^\prime }\) \(d\left( {S\,;\,\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.AMN}}}}{{{S_{\Delta AMN}}}}\)

Giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của BC ta có MN // BC \( \Rightarrow \)BC // (AMN) \( \supset \)AM

\( \Rightarrow \)d (AM; BC) = d (BC; (AMN)) = d (C; (AMN))

Lại có: SC \( \cap \) (AMN) = M \( \Rightarrow \) \(\frac{{d(C;(AMN))}}{{d(S;(AMN))}} = \frac{{CM}}{{SM}} = 1\)

\( \Rightarrow d(C;(AMN)) = d(S;(AMN))\)

Ta có:

$\begin{array}{c}AM=\frac{1}{2}SC=\frac{1}{2}\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}\mathrm{ }=\frac{1}{2}\sqrt{3^2+{\mathrm{\hspace{0.17em}2}}^2}\mathrm{ }=\frac{\sqrt{13}}{2} \\ AN=\frac{1}{2}SB=\frac{1}{2}\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}\mathrm{ }=\frac{1}{2}\sqrt{3^2+{\mathrm{\hspace{0.17em}2}}^2}\mathrm{ }=\frac{\sqrt{13}}{2}\\ MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}\mathrm{ }=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}\mathrm{ }=\sqrt{2}\end{array}$

Gọi p là nửa chu vi tam giác AMN ta có  $p=\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}+\frac{\sqrt{13}}{2}+\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{13}\mathrm{ }+\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow {𝑆}_{\mathrm{\Delta }AMN}=\sqrt{p(p-AM)(p-AN)(p-MN)}\mathrm{ }=\frac{\sqrt{22}}{4}$

$\begin{array}{c}\frac{{𝑉}_{S.AMN}}{{𝑉}_{S.ABC}}=\frac{SM}{SC}.\frac{SN}{SB}=\frac{1}{4}\Rightarrow {𝑉}_{S.AMN}\mathrm{ }=\frac{1}{4}{𝑉}_{S.ABC}\\ V_{S.ABC}\mathrm{ }=\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{6}\mathrm{.3.2.2}=2\Rightarrow {𝑉}_{S.AMN}\mathrm{ }=\frac{1}{4}.2=\frac{1}{2}\end{array}$

Vậy \( \Rightarrow d(AM;BC) = d(S;(AMN)) = \frac{{3{V_{S.AMN}}}}{{{S_{\Delta AMN}}}} = \frac{{3.\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt {22} }}{4}}} = \frac{{3\sqrt {22} }}{{11}}\)

Chọn C.