Cho hàm số \(y\, = \,f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có 3 cực trị và có đồ thị như hình vẽ.

Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y\, = \,f\left( {\frac{1}{{{{\left( {x\, - \,1} \right)}^2}}}} \right)\)

Phương pháp giải:  Tính \({\left[ {\left( {\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \right)} \right]^\prime }\)và tìm số nghiệm bội lẻ, từ đó suy ra số cực trị

Giải chi tiết:

Ta có:

\[\begin{array}{l}g'(x)\, = \,{\left[ {f\,\left( {\frac{1}{{{{(x\, - \,1)}^2}}}} \right)} \right]^\prime } = {\left[ {\frac{1}{{{{(x\, - \,1)}^2}}}} \right]^\prime }.\,f'\left( {\frac{1}{{{{(x\, - \,1)}^2}}}} \right)\\ = \, - \frac{2}{{{{(x\, - \,1)}^3}}}.\,f'\left( {\frac{1}{{{{(x\, - \,1)}^2}}}} \right)\end{array}\]

\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} = {x_1} < 0(VN)}\\{\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} = 0(VN)}\\{\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} = {x_3} > 0}\end{array}} \right.\)

$\iff x-1=\pm \sqrt{\frac{1}{{𝑥}_3}}\iff x=1\pm \sqrt{\frac{1}{{𝑥}_3}}$ (nghiệm đơn)

Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực trị

Chọn D.