Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên $(-1;+\mathrm{\infty })$. Biểu thức \(2f\left( x \right)\, + \,\left( {{x^2}\, - \,1} \right)f'\left( x \right)\, = \,\frac{{x{{\left( {x\, + \,1} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2}\, + \,3} }}\) được thỏa mãn \(\forall x\, \in \,\left( { - 1\,;\, + \infty } \right)\). Tính giá trị \(f\left( 0 \right)\).

Phương pháp giải:  Chia cả 2 vế cho \({(x + 1)^2}\). Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế

Giải chi tiết: Ta có:

\(\begin{array}{l}2f(x) + ({x^2} - 1)f'(x) = \frac{{x{{(x + 1)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}}f(x) + \frac{{x - 1}}{{x + 1}}f'(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)^\prime }.f(x) + \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.f'(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\\ \Leftrightarrow {\left[ {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}.f(x)} \right]^\prime } = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\int {{{\left[ {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}.f(x)} \right]}^\prime }dx = \int {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} } \)

\( \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.f(x) = \int {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} \)

Đặt \(I = \int {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx} \)

Khi đó ta có: $I=\int \frac{tdt}{t}\mathrm{ }=t+C=\sqrt{x^2+3}+C$

Thay \(x = 1\) ta có: \(0 = \,2\, + \,C\, \Leftrightarrow \,C\, = \, - 2\)

$\Rightarrow \frac{x-1}{x+1}.f\left(x\right)=\sqrt{x^2+3}\mathrm{ }-2$

Thay \(x = 0\) ta có: $-f\left(0\right)=\sqrt{3}\mathrm{ }-2\iff f\left(0\right)=2-\sqrt{3}$

Chọn B.