Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau \(d\,:\,\left\{ \begin{array}{l}x\, = \,1\, + \,2t\\y\, = \, - 1\, - \,t\\z\, = \,1\end{array} \right.\) và \(d'\,:\,\frac{{x\, - \,2}}{{ - 1}}\, = \,\frac{{y\, + \,2}}{1}\, = \,\frac{{z\, - \,3}}{1}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\,\)là:

Đáp án: $\frac{1}{\sqrt{6}}$

Phương pháp giải:  Sử dụng công thức \(d(d;d') = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u \,,\,\overrightarrow {u'} } \right].\,\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u \,,\,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\)với \(\overrightarrow u \,,\,\overrightarrow {u'} \)lần lượt là VTCP của \(d\,,\,d'\), \(M \in d\) và \(M' \in d'\)

Giải chi tiết:

Đường thẳng $d:\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=-1\end{array}$đi qua điểm \(M(1; - 1; - 1)\)và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \, = \,(2\,;\, - 1\,;\,0)\)

Đường thẳng \(d':\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}\)đi qua điểm \(M'(2; - 2; - 3)\)và có 1 VTCP \(\overrightarrow {u'} \, = \,( - 1\,;\,1\,;\,1)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u \,,\,\overrightarrow {u'} } \right]\, = \,( - 1\,;\, - 2\,;\,1)\),

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u \,,\,\overrightarrow {u'} } \right].\,\overrightarrow {MM'} \, = \, - 1\, + \,2\, - \,2\, = \, - 1\)

Vậy $d(d;d^{\text{'}})=\frac{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\text{'}}}].\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}|}{\left|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\text{'}}}]\right|}=\frac{1}{\sqrt{{(-1)}^2+{(-2)}^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$