Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh bên bằng \(a\) và diện tích đáy bằng \({a^2}\) (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng:

Đáp án: $d(A;(SBC))=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

Phương pháp giải: - Đổi \(d(A;(SBC))\)sang \(d(O;(SBC))\)với \(O = AC \cap BD\)

- Gọi \(M\)là trung điểm của \(BC\),trong \((SOM)\)kẻ \(OH \bot SM\)chứng minh \(OH \bot (SBC)\)

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách

Giải chi tiết:

Ta có: \(AO \cap (SBC) = C \Rightarrow \frac{{d(A;(SBC))}}{{d(O;(SBC))}} = \frac{{AO}}{{OC}} = 2\)

\( \Rightarrow d(A;(SBC)) = 2d(O;(SBC))\)

Gọi \(M\)là trung điểm của \(BC\),trong \((SOM)\)kẻ \(OH \bot SM\)ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot OM}\\{BC \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SOM) \Rightarrow BC \bot OH\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OH \bot BC}\\{OH \bot SM}\end{array}} \right. \Rightarrow OH \bot (SBC) \Rightarrow d(O;(SBC)) = OH\)

Vì \({S_{ABCD}} = {a^2} \Rightarrow BC = a,OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\)

Ta có: $SM=\sqrt{S{B}^2-B{M}^2}\mathrm{ }=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}\mathrm{ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$SO=\sqrt{S{M}^2-O{M}^2}\mathrm{ }=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a2}{2}$

Xét tam giác vuông \(SOM\): \(OH = \frac{{SO.OM}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Vậy $d(A;(SBC))=\frac{a\sqrt{6}}{6}$