Phương trình \[6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6\] có nghiệm là:

\[6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6 \Leftrightarrow 6{\sin ^2}x + 14\sqrt 3 \sin x\cos x - 8{\cos ^2}x = 6\,\left( * \right)\]

Trường hợp 1: \[\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\]Khi đó\[{\sin ^2}x = 1\]Thay vào phương trình (*) ta có:\[6.1 + 14.0 - 8.0 = 6 \Leftrightarrow 6 = 6\]  (luôn đúng)

\[ \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\]là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: \[\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\] Chia cả 2 vế của phương trình (*) cho \[{\cos ^2}x\]ta được:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{6\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 14\sqrt 3 \frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 8 = \frac{6}{{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow 6{{\tan }^2}x + 14\sqrt 3 \tan x - 8 = 6\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}\\{ \Leftrightarrow 14\sqrt 3 \tan x - 14 = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 tanx - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)}\end{array}\]

Kết hợp 2 trường hợp ta có nghiệm của phương trình là:\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = \frac{\pi }{6} + k\pi }\end{array}} \right.(k \in Z)\)