ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Phương trình lượng giác thường gặp

  • 949 lượt thi

  • 29 câu hỏi

  • 30 phút

Câu 1:

Phương trình \[\sin 2x + 3\sin 4x = 0\] có nghiệm là:

Xem đáp án

\[sin2x + 3sin4x = 0 \Leftrightarrow sin2x + 6sin2xcos2x = 0\]

\[ \Leftrightarrow sin2x(1 + 6cos2x) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{sin2x = 0}\\{1 + 6cos2x = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{sin2x = 0}\\{cos2x = - \frac{1}{6}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = k\pi }\\{2x = \pm arccos\left( { - \frac{1}{6}} \right) + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{k\pi }}{2}}\\{x = \pm \frac{1}{2}arccos( - \frac{1}{6}) + k\pi }\end{array}} \right.(k \in Z)\)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 2:

Để phương trình \[\frac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\] có nghiệm, tham số phải thỏa mãn điều kiện:

Xem đáp án

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - ta{n^2}x \ne 0}\\{cos2x \ne 0}\\{cosx \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{co{s^2}x - si{n^2}x}}{{co{s^2}x}}}\\{cos2x \ne 0}\\{cosx \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{cos2x \ne 0}\\{cosx \ne 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}}\\{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array}} \right.(k \in Z)\)

\[\frac{{{a^2}}}{{1 - ta{n^2}x}} = \frac{{si{n^2}x + {a^2} - 2}}{{cos2x}}\]

\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{\frac{{co{s^2}x - si{n^2}x}}{{co{s^2}x}}}} = \frac{{si{n^2}x + {a^2} - 2}}{{cos2x}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}co{s^2}x}}{{cos2x}} = \frac{{si{n^2}x + {a^2} - 2}}{{cos2x}}\)

\[ \Leftrightarrow {a^2}co{s^2}x = si{n^2}x + {a^2} - 2\]

\[ \Leftrightarrow {a^2}co{s^2}x = 1 - co{s^2}x + {a^2} - 2\]

\[ \Leftrightarrow ({a^2} + 1)co{s^2}x = {a^2} - 1 \Leftrightarrow co{s^2}x = \frac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} < 1\]

Vì \[\cos x \ne 0 \Rightarrow 0 < {\cos ^2}x \le 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x >0 \Leftrightarrow {a^2} - 1 >0 \Rightarrow \left| a \right| >1\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 3:

Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = \frac{\pi }{3}}\\{{\rm{cosx - }}\cos y = - 1}\end{array}} \right.\).

Xem đáp án

Bước 1:

xy=π3cosxcosy=1x=y+π3cos(y+π3)cosy=1()

Bước 2:

2siny+π6.sinπ6=12siny+π6.12=1siny+π6=1

Bước 3:

y+π6=π2+k2πy=π3+k2πkZ

\[ \Rightarrow x = y + \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:\[\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right)\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 4:

Phương trình \[\sqrt 3 {\cot ^2}x - 4\cot x + \sqrt 3 = 0\]có nghiệm là:

Xem đáp án

ĐK: \[\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\]

\[\sqrt 3 {\cot ^2}x - 4\cot x + \sqrt 3 = 0\]

Đặt cotx=t khi đó phương trình có dạng

\[\sqrt 3 {t^2} - 4t + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{1}{{\sqrt 3 }}}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{cotx = \frac{1}{{\sqrt 3 }}}\\{cotx = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x = \frac{\pi }{6} + k\pi }\end{array}} \right.(k \in Z)(tm)\)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 5:

Phương trình \[{\sin ^2}3x + \left( {{m^2} - 3} \right)\sin 3x + {m^2} - 4 = 0\] khi m=1 có nghiệm là:

Xem đáp án

Khi m=1 phương trình có dạng:\[{\sin ^2}3x - 2\sin 3x - 3 = 0\]

Đặt\[\sin 3x = t\,\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\] khi đó phương trình có dạng

\[{t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1(tm)}\\{t = 3(ktm)}\end{array}} \right.\]

\[t = - 1 \Leftrightarrow \sin 3x = - 1 \Leftrightarrow 3x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\]

Đáp án cần chọn là: C


Các bài thi hot trong chương:

0

Đánh giá trung bình

0%

0%

0%

0%

0%

Bình luận


Bình luận