Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình $si{n^2}x - msinxcosx - 3co{s^2}x = 2m$ có nghiệm?

Trường hợp 1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$ Khi đó ${\sin ^2}x = 1$Thay vào phương trình ta có:$1 - m.0 - 3.0 = 2m\, \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2} \notin Z \Rightarrow$ loại

Trường hợp 2:$\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

Chia cả 2 vế của phương trình cho${\cos ^2}x$ ta được:

$\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - m\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 3 = \frac{{2m}}{{{{\cos }^2}x}}}\\{ \Leftrightarrow {{\tan }^2}x - m\tan x - 3 = 2m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}\\{ \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right){{\tan }^2}x + m\tan x + 2m + 3 = 0}\end{array}$Đặt tanx = t khi đó phương trình có dạng$\left( {2m - 1} \right){t^2} + mt + 2m + 3 = 0$

$m = \frac{1}{2} \notin Z \Rightarrow$ loại

$m \ne \frac{1}{2}$ ta có:${\rm{\Delta }} = {m^2} - 4\left( {2m - 1} \right)\left( {2m + 3} \right) = {m^2} - 16{m^2} - 16m + 12 = - 15{m^2} - 16m + 12$

Để phương trình có nghiệm thì${\rm{\Delta }} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 8 - 2\sqrt {61} }}{{15}} \le m \le \frac{{ - 8 + 2\sqrt {61} }}{{15}}$

Mà$m \in Z \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 1}\\{m = 0}\end{array}} \right.$

Đáp án cần chọn là: C