Với giá trị nào của m thì phương trình \[\left( {1 - m} \right){\tan ^2}x - \frac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0\]có nhiều hơn 1 nghiệm trên \[(0;\frac{\pi }{2})\;\]?

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {1 - m} \right){{\tan }^2}x - \frac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right)\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right){{\sin }^2}x - 2\cos x + \left( {1 + 3m} \right){{\cos }^2}x = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right)\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) - 2\cos x + \left( {1 + 3m} \right){{\cos }^2}x = 0}\\{ \Leftrightarrow 4m{{\cos }^2}x - 2\cos x + 1 - m = 0}\end{array}\]

Đặt t=cosx

Vì \[x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\]khi đó phương trình trở thành

\[4m{t^2} - 2t + 1 - m = 0(1)\]

\[ \Leftrightarrow m(4{t^2} - 1) - (2t - 1) = 0\]

\[ \Leftrightarrow m(2t + 1)(2t - 1) - (2t - 1) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (2t - 1)(2mt + m - 1) = 0\]

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{1}{2} \in (0;1)}\\{2mt = 1 - m(2)}\end{array}} \right.\)

Để phương trình ban đầu có nhiều hơn 1 nghiệm thuộc\[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\]thì phương trình (1)(1) có nhiều hơn 1 nghiệm thuộc (0;1). Khi đó phương trình (2) có nghiệm thuộc\[\left( {0;1} \right) \setminus \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\]

Khi m=0 ta có 0t=1 (vô nghiệm)

Khi \[m \ne 0\]thì \[\left( 2 \right) \Leftrightarrow t = \frac{{1 - m}}{{2m}}\]

Để phương trình (2) có nghiệm thuộc\[\left( {0;1} \right) \setminus \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\] thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{0 < \frac{{1 - m}}{{2m}} < 1}\\{\frac{{1 - m}}{{2m}} \ne \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{\frac{{1 - m}}{{2m}} >0}\\{\frac{{1 - m}}{{2m}} < 1}\\{2(1 - m) \ne 2m}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{\frac{{1 - m}}{{2m}} >0}\\{\frac{{1 - 3m}}{{2m}} < 0}\\{4m \ne 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{0 < m < 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{m >\frac{1}{3}}\end{array}} \right.}\\{m \ne \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{3} < m < 1}\\{m \ne \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C