Câu hỏi:

25/05/2022 252

Trong khoảng \[\left( {0\,\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\]phương trình \[si{n^2}4x + 3sin4xcos4x - 4co{s^2}4x = 0\;\] có:

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Trường hợp 1:\[\cos 4x = 0 \Leftrightarrow 4x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\]

Khi đó\[{\sin ^2}4x = 1\]

Thay vào phương trình ta có:\[1 + 3.0 - 4.0 = 0 \Leftrightarrow 1 = 0\,\,\left( {V\^o \,\,l\'y } \right)\]

\[ \Rightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\] không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2:\[\cos 4x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\]

Chia cả 2 vế của phương trình cho \[{\cos ^2}4x\]  ta được:

\[\frac{{{{\sin }^2}4x}}{{{{\cos }^2}4x}} + 3\frac{{\sin 4x}}{{\cos 4x}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {\tan ^2}4x + 3\tan 4x - 4 = 0\]

Đặt tan4x=t. Khi đó phương trình trở thành

\[{t^2} + 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{tan4x = 1}\\{tan4x = - 4}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{4x = arctan( - 4) + k\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}}\\{x = \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{{k\pi }}{4}}\end{array}} \right.(k \in Z)\)

Xét nghiệm\[x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right),\,x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4} < \frac{\pi }{2}}\\{k \in Z}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < \frac{1}{{16}} + \frac{k}{4} < \frac{1}{2}}\\{k \in Z}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{4} < k < \frac{7}{4}}\\{k \in Z}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 0}\\{k = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{16}}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{16}}}\end{array}} \right.\)

Xét nghiệm\[x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\]

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{{k\pi }}{4} < \frac{\pi }{2}}\\{k \in Z}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{4}arctan( - 4) < \frac{{k\pi }}{4} < \frac{\pi }{2} - \frac{1}{4}arctan( - 4)}\\{k \in Z}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,42 < k < 2,42}\\{k \in Z}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 1}\\{k = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{\pi }{4}}\\{x = \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng\[\left( {0\,\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\]

Đáp án cần chọn là: D

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

\[4{\sin ^2}x - 4\sin x - 3 = 0\]

Đặt\[\sin x = t\,\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\]khi đó phương trình có dạng:

\[4{t^2} - 4t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{3}{2}(ktm)}\\{t = - \frac{1}{2}(tm)}\end{array}} \right.\]

\[t = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow sinx = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = - \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.(k \in Z)\]

 Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình (ảnh 1)

Vây số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình\[4{\sin ^2}x - 4\sin x - 3 = 0\]trên đường tròn lượng giác là 2 điểm như hình trên.

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Bước 1:

\[\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

\[\Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\]

Bước 2:

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha = - \frac{\pi }{{12}}}\\{\beta = \frac{{5\pi }}{{12}}}\end{array}} \right.\)

(Vì\[ - \frac{\pi }{{12}}\] và\[\frac{{5\pi }}{{12}}\] đều thỏa mãn điều kiện đề bài)

\[ \Rightarrow \alpha .\beta \; = \frac{{ - 5{\pi ^2}}}{{144}}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3

Với giá trị nào của m thì phương trình \[\left( {1 - m} \right){\tan ^2}x - \frac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0\]có nhiều hơn 1 nghiệm trên \[(0;\frac{\pi }{2})\;\]?

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Phương trình \[\sin 2x + 3\sin 4x = 0\] có nghiệm là:

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Để phương trình \[\frac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\] có nghiệm, tham số phải thỏa mãn điều kiện:

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay