Câu hỏi:

25/05/2022 174

Trong khoảng \[\left( {0\,\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\]phương trình \[si{n^2}4x + 3sin4xcos4x - 4co{s^2}4x = 0\;\] có:

Đáp án chính xác

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Trường hợp 1:\[\cos 4x = 0 \Leftrightarrow 4x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\]

Khi đó\[{\sin ^2}4x = 1\]

Thay vào phương trình ta có:\[1 + 3.0 - 4.0 = 0 \Leftrightarrow 1 = 0\,\,\left( {V\^o \,\,l\'y } \right)\]

\[ \Rightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\] không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2:\[\cos 4x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\]

Chia cả 2 vế của phương trình cho \[{\cos ^2}4x\]  ta được:

\[\frac{{{{\sin }^2}4x}}{{{{\cos }^2}4x}} + 3\frac{{\sin 4x}}{{\cos 4x}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {\tan ^2}4x + 3\tan 4x - 4 = 0\]

Đặt tan4x=t. Khi đó phương trình trở thành

\[{t^2} + 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{tan4x = 1}\\{tan4x = - 4}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{4x = arctan( - 4) + k\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}}\\{x = \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{{k\pi }}{4}}\end{array}} \right.(k \in Z)\)

Xét nghiệm\[x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right),\,x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4} < \frac{\pi }{2}}\\{k \in Z}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < \frac{1}{{16}} + \frac{k}{4} < \frac{1}{2}}\\{k \in Z}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{4} < k < \frac{7}{4}}\\{k \in Z}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 0}\\{k = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{16}}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{16}}}\end{array}} \right.\)

Xét nghiệm\[x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\]

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{{k\pi }}{4} < \frac{\pi }{2}}\\{k \in Z}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{4}arctan( - 4) < \frac{{k\pi }}{4} < \frac{\pi }{2} - \frac{1}{4}arctan( - 4)}\\{k \in Z}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,42 < k < 2,42}\\{k \in Z}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 1}\\{k = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{\pi }{4}}\\{x = \frac{1}{4}arctan( - 4) + \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng\[\left( {0\,\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\]

Đáp án cần chọn là: D

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình \[4{\sin ^2}x - 4\sin x - 3 = 0\]trên đường tròn lượng giác là:

Xem đáp án » 25/05/2022 1,713

Câu 2:

Phương trình \[\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \]  có hai họ nghiệm có dạng \[x = \alpha + k2\pi ,x = \beta + k2\pi ,\]\[( - \frac{\pi }{2} < \alpha < \beta < \frac{\pi }{2})\;\]. Khi đó \[\alpha .\beta \;\] là:

Xem đáp án » 25/05/2022 808

Câu 3:

Với giá trị nào của m thì phương trình \[\left( {1 - m} \right){\tan ^2}x - \frac{2}{{\cos x}} + 1 + 3m = 0\]có nhiều hơn 1 nghiệm trên \[(0;\frac{\pi }{2})\;\]?

Xem đáp án » 25/05/2022 659

Câu 4:

Phương trình \[\sin 2x + 3\sin 4x = 0\] có nghiệm là:

Xem đáp án » 25/05/2022 554

Câu 5:

Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình \[si{n^2}x - msinxcosx - 3co{s^2}x = 2m\] có nghiệm?

Xem đáp án » 25/05/2022 456

Câu 6:

Để phương trình \[\frac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\] có nghiệm, tham số phải thỏa mãn điều kiện:

Xem đáp án » 25/05/2022 424

Câu 7:

Với giá trị nào của m thì phương trình \[\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\]luôn có nghiệm?

Xem đáp án » 25/05/2022 421

Bình luận


Bình luận