Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn 2fx+3f1−x=x1−x, với mọi x∈0;1. Tích phân ∫02xf'x2 bằng A. −475. B. −425. C. −1675. D. −1625.

Đáp án C. Đặt t=x2⇒dt=12dx. Đổi cận: x=0⇒t=0x=2⇒t=1. Khi đó tích phẩn cần tính: I=∫012t.f't2dt=4∫01t.f'tdt=4∫01t.dft =4t.ft01−4∫01ftdt=4f1−4∫01ftdt(1). Theo tính chất tích phân có ∫01fxdx=12+3∫012fx+3f1−xdx=15∫01x1−xdx=475 (2). Thay lần lượt x=0;x=1 vào đẳng thức đã cho có: 2f0+3f1=02f1+3f0=0⇔f1=f0=0(3). Kết hợp (1), (2), (3) có I=−1675.

Câu hỏi:

25/05/2022 128

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $2 f (x) + 3 f (1 - x) = x \sqrt{1 - x},$ với mọi $x \in [0; 1] .$ Tích phân $\int_{0}^{2} x f^{'} (\frac{x}{2})$ bằng

A.

- \frac{4}{75} .

B.

- \frac{4}{25} .

C.

- \frac{16}{75} .

Đáp án chính xác

D.

- \frac{16}{25} .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án C.

Đặt $t = \frac{x}{2} \Rightarrow d t = \frac{1}{2} d x .$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = 2 \Rightarrow t = 1 \end{cases} .$

Khi đó tích phẩn cần tính: $I = \int_{0}^{1} 2 t . f^{'} (t) 2 d t = 4 \int_{0}^{1} t . f^{'} (t) d t = 4 \int_{0}^{1} t . d (f (t))$

$= {4 t . f (t)|}_{0}^{1} - 4 \int_{0}^{1} f (t) d t = 4 f (1) - 4 \int_{0}^{1} f (t) d t$ (1).

Theo tính chất tích phân có

$\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{2 + 3} \int_{0}^{1} [2 f (x) + 3 f (1 - x)] d x = \frac{1}{5} \int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x} d x = \frac{4}{75}$ (2).

Thay lần lượt $x = 0; x = 1$ vào đẳng thức đã cho có:

$\{\begin{cases} 2 f (0) + 3 f (1) = 0 \\ 2 f (1) + 3 f (0) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow f (1) = f (0) = 0$ (3).

Kết hợp (1), (2), (3) có $I = - \frac{16}{75} .$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A (1; 2; - 3)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; - 1; 3)$ là:

A.

2 x - y + 3 z + 9 = 0.

B.

2 x - y + 3 z - 4 = 0.

C.

x - 2 y - 4 = 0.

D. $2 x - y + 3 z + 4 = 0.$

Xem đáp án » 23/05/2022 6,342

Câu 2:

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - m^{2} + 2 m + 1}{x - m}$ (với m là tham số). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

A.

m < - \frac{1}{3} .

B.

m \leq - \frac{1}{2} .

C.

m < - 1.

D.

m < - \frac{1}{4} .

Xem đáp án » 25/05/2022 6,021

Câu 3:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} .$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; - 2) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; - 2) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 1) .$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; 1) .

Xem đáp án » 31/05/2022 4,218

Câu 4:

Cho lăng trụ ABCD. A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA'=a . hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của AB. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho

A.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} .

C.

V = a^{3} .

D.

V = \frac{a^{3}}{3} .

Xem đáp án » 24/05/2022 3,939

Câu 5:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^{2};$ $y = \frac{x^{2}}{4};$ $y = \frac{8}{x} .$

A.

\frac{7}{3} - 2 \ln 2.

B.

\frac{3}{2} + 2 \ln 2.

C.

4 l n 2.

D.

- \frac{5}{3} + \frac{4}{3} \ln 2.

Xem đáp án » 25/05/2022 1,387

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 1}$ và hai điểm $A (1; 2; - 1), B (3; - 1; - 5) .$ Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là:

A.

\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 5}{- 1} .

B.

\frac{x}{- 1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z}{4} .

C.

\frac{x + 2}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1} .

D.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z + 1}{- 5} .

Xem đáp án » 25/05/2022 1,003

Câu 7:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$ là

A.

\frac{1}{3 \sqrt{x^{3} + 1}} + C .

B.

\frac{2}{3} \sqrt{x^{3} + 1} + C .

C.

\frac{2}{3 \sqrt{x^{3} + 1}} + C .

D. $\frac{1}{3} \sqrt{x^{3} + 1} + C .$

Xem đáp án » 25/05/2022 875

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $2 f (x) + 3 f (1 - x) = x \sqrt{1 - x},$ với mọi $x \in [0; 1] .$ Tích phân $\int_{0}^{2} x f^{'} (\frac{x}{2})$ bằng

Nhà sách VIETJACK:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A (1; 2; - 3)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; - 1; 3)$ là:

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - m^{2} + 2 m + 1}{x - m}$ (với m là tham số). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} .$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho lăng trụ ABCD. A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA'=a . hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của AB. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^{2};$ $y = \frac{x^{2}}{4};$ $y = \frac{8}{x} .$

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$ là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn 2fx+3f1−x=x1−x, với mọi x∈0;1. Tích phân ∫02xf'x2 bằng

Nhà sách VIETJACK:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm A1;2;−3 có vectơ pháp tuyến n→=2;−1;3 là:

Cho hàm số y=x2−m2+2m+1x−m (với m là tham số). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Cho hàm số y=x4−2x2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho lăng trụ ABCD. A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA'=a . hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của AB. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=x2; y=x24; y=8x.

Họ nguyên hàm của hàm số fx=x2x3+1 là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $2 f (x) + 3 f (1 - x) = x \sqrt{1 - x},$ với mọi $x \in [0; 1] .$ Tích phân $\int_{0}^{2} x f^{'} (\frac{x}{2})$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A (1; 2; - 3)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; - 1; 3)$ là:

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - m^{2} + 2 m + 1}{x - m}$ (với m là tham số). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} .$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^{2};$ $y = \frac{x^{2}}{4};$ $y = \frac{8}{x} .$

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$ là