Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y = \sqrt x ,y = 0,x = 4$. Đường thẳng $y = ax + b$ chia $\left( H \right)$ thành hai phần có diện tích ${S_1},{S_2}$ như hình vẽ. Biết ${S_1} = \frac{5}{3}{S_2}$, tính $a + b$.

 

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {1;2; - 3} \right)$ trên trục Oz có tọa độ là

Với a là số thực dương tùy ý, ${\log }_2\frac{8}{a}$  bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {2; - 2;1} \right)$ và đường thẳng d có phương trình $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng d.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh AB. Thể tích khối chóp S.ABC bằng $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 6x + \cos x$ là

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|$ trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$ bằng 2. Số phần tử của S là:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$ như hình vẽ. Diện tích phần hình phẳng tô đậm được tính theo công thức nào dưới đây?