Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn ${\log _3}{\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 9 - \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + 2y$ là:

Đáp án D

Ta có $\begin{array}{l}{\log _3}{\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 9 - \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right) + {{\log }_3}\left( {y + 1} \right)} \right] + \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 9\\ \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right) + {{\log }_3}\left( {y + 1} \right) + x - 1} \right] = 9\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 1} \right) + x - 1 = \frac{9}{{y + 1}} - {\log _3}\left( {y + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 1} \right) + x + 1 - 2 = \frac{9}{{y + 1}} - 2 + {\log _3}\frac{9}{{y + 1}}\end{array}$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {\log _3}t + t - 2$, với $t > 0$ có $f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0$ với mọi $t > 0$.

Nên hàm số $f\left( t \right)$ luôn đồng biến liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow x + 1 = \frac{9}{{y + 1}}$.

$\Rightarrow x = \frac{9}{{y + 1}} - 1 = \frac{{8 - y}}{{y + 1}}$, do $x > 0 \Rightarrow y \in \left( {0;8} \right)$.

Do đó$P=x+2y=\frac{8-y}{y+1}+2y=2y-1+\frac{9}{y+1}=2\left(y+1\right)+\frac{9}{y+1}-3\ge -3+6\sqrt{2}$

Dấu “=” xảy ra $\iff y+1=\sqrt{\frac{9}{2}}\iff y=\frac{3}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=\frac{27\sqrt{2}-25}{7}$