Xét khối tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi, CD=4 và các cạnh còn lại đều bằng 22. Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất, hãy tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó. A...

+) Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB, CD. ΔACD cân tại A có trung tuyến AF⇒AF⊥CD. ΔBCD cân tại B có trung tuyến BF⇒BF⊥CD. ⇒CD⊥AFB⇒CD⊥ABCD⊥EF. Mặt khác vì ΔACD=ΔBCDc.c.c ⇒AF=BF⇒EF⊥AB. ⇒EFlà đoạn vuông góc chung của AB và CD. Do đó EF là trung trực của AB và CD nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là điểm I thuộc đoạn EF +) Trong tam giác vuôngADF.AF2=AD2−DF2=18⇒AF=32. VABCD=2VDABF=2.13DF.SABF=23DF12.AF.BFsinAFB^ ≤13DF.AF.BF=13322=6. VABCD lớn nhất bằng 6 khi sinAFB^=1⇔AFB^=900⇔AF⊥BF. Trong tam giác vuông cân ABF có: AB=AF2=6⇒EF=3. Đặt IE=x⇒IF=3−x0≤x≤3. Trong tam giác vuông AEI có: AI2=x2+9. Trong tam giác vuông DFI có: DI2=3−x2+4. Tứ diện ngoại tiếp mặt cầu tâm I thì R=AI=DI⇒AI2=DI2 ⇒x2+9=3−x2+4⇔−6x+4=0⇔x=23⇒R2=AI2=859. Vậy S=4πR2=4π.859=340π9. Chọn A

Câu hỏi:

26/05/2022 193

Xét khối tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi, CD=4 và các cạnh còn lại đều bằng $\sqrt{22}$ . Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất, hãy tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

A. $S = \frac{340 π}{9}$

Đáp án chính xác

B. $S = \frac{85 π}{9}$

C. $S = \frac{340 π}{3}$

D. $S = \frac{52 π}{9}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2023 - 2024 có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét khối tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi, CD=4 và các cạnh còn lại đều bằng căn bậc hai của 22 (ảnh 1)

+) Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB, CD.

$Δ A C D$ cân tại A có trung tuyến $A F \Rightarrow A F ⊥ C D .$

$Δ B C D$ cân tại B có trung tuyến $B F \Rightarrow B F ⊥ C D .$

$\Rightarrow C D ⊥ (A F B) \Rightarrow \{\begin{cases} C D ⊥ A B \\ C D ⊥ E F \end{cases} .$

Mặt khác vì $Δ A C D = Δ B C D (c . c . c)$

$\Rightarrow A F = B F \Rightarrow E F ⊥ A B .$

$\Rightarrow E F$ là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

Do đó EF là trung trực của AB và CD nên tâm mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABCD là điểm I thuộc đoạn EF

+) Trong tam giác vuông $A D F . A F^{2} = A D^{2} - D F^{2} = 18 \Rightarrow A F = 3 \sqrt{2} .$

$V_{A B C D} = 2 V_{D A B F} = 2. \frac{1}{3} D F . S_{A B F} = \frac{2}{3} D F \frac{1}{2} . A F . B F \sin \hat{A F B}$

$\leq \frac{1}{3} D F . A F . B F = \frac{1}{3} {(3 \sqrt{2})}^{2} = 6.$

$V_{A B C D}$ lớn nhất bằng 6 khi $\sin \hat{A F B} = 1 \Leftrightarrow \hat{A F B} = 90^{0} \Leftrightarrow A F ⊥ B F .$

Trong tam giác vuông cân ABF có: $A B = A F \sqrt{2} = 6 \Rightarrow E F = 3.$

Đặt $I E = x \Rightarrow I F = 3 - x (0 \leq x \leq 3) .$

Trong tam giác vuông AEI có: $A I^{2} = x^{2} + 9.$

Trong tam giác vuông DFI có: $D I^{2} = {(3 - x)}^{2} + 4.$

Tứ diện ngoại tiếp mặt cầu tâm I thì $R = A I = D I \Rightarrow A I^{2} = D I^{2}$

$\Rightarrow x^{2} + 9 = {(3 - x)}^{2} + 4 \Leftrightarrow - 6 x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3} \Rightarrow R^{2} = A I^{2} = \frac{85}{9} .$

Vậy $S = 4 π R^{2} = 4 π . \frac{85}{9} = \frac{340 π}{9} .$

Chọn A

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tính tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất

A. 56,4(m)

B. 68,2(m)

C. 64,8(m)

D. 72,6(m)

Xem đáp án » 27/05/2022 13,380

Câu 2:

Lớp 11A2 có 45 bạn học sinh. Đầu năm cô giáo muốn chọn ra một ban cán sự lớp từ 45 bạn học sinh lớp 11A2 gồm một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớn phó văn thể mĩ, hai thư kí. Số cách cô giáo chọn ra một ban cán sự lớp như vậy là

A. 2. $P_{4}$

B. $2 . A_{45}^{3}$

C. $A_{45}^{4}$

D. $3! . C_{45}^{3} . C_{42}^{2}$

Xem đáp án » 27/05/2022 8,244

Câu 3:

Cho hai đường tròn $(O_{1}; 10)$ và $(O_{2}; 8)$ cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường tròn . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn (phần tô đậm). Quay (H) quanh trục $O_{1} O_{2}$ ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.

A. $\frac{824 π}{3}$

B. $\frac{608}{3} π$

C. $\frac{97}{3} π$

D. $\frac{145}{3} π$

Xem đáp án » 26/05/2022 4,613

Câu 4:

Đề thi THPT môn Toán gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có 1 phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, điểm tối đa là 10 điểm. Một học sinh năng lực trung bình đã làm đúng được 25 câu, các câu còn lại học sinh đó không biết cách giải nên chọn phương án ngẫu nhiên cả 25 câu còn lại. Tính xác suất để điểm thi môn Toán của học sinh đó lớn hơn hoặc bằng 6 điểm?

A. 76,324%

B. 79,257%

C. 78,626%

D. 80,126%

Xem đáp án » 27/05/2022 4,562

Câu 5:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài , chiều rộng được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn (M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ A đến C qua vạch chắn MN, biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm được 15 m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được 30 m. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C.

A. $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

B. $\frac{10 + 2 \sqrt{725}}{30}$

C. $\frac{20 + \sqrt{725}}{30}$

D. 5

Xem đáp án » 26/05/2022 2,607

Câu 6:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = 4$ , công sai $d = \frac{48}{25}$ . Giá trị của biểu thức $S = \frac{1}{\sqrt{u_{1}} + \sqrt{u_{2}}} + \frac{1}{\sqrt{u_{2}} + \sqrt{u_{3}}} + ... + \frac{1}{\sqrt{u_{50}} + \sqrt{u_{51}}}$ là

A. $\frac{6}{25}$

B. $\frac{4}{25}$

C. $\frac{25}{4}$

D. $\frac{25}{6}$

Xem đáp án » 27/05/2022 1,684

Câu 7:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có các số hạng đều dương và $\{\begin{cases} u_{1} + u_{2} + u_{3} + ... + u_{n} = 2020 \\ \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + ... + \frac{1}{u_{n}} = 2021 \end{cases}$ .

Giá trị của $P = u_{1} . u_{2} . u_{3} ..... u_{n}$ là

A. $P = \sqrt{{(\frac{2020}{2021})}^{n}}$

B. $P = {(\frac{2020}{2021})}^{n}$

C. $P = \sqrt{{(\frac{2021}{2020})}^{n}}$

D. $P = {(\frac{2021}{2020})}^{n}$

Xem đáp án » 27/05/2022 1,148

Xem thêm các câu hỏi khác »

Xét khối tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi, CD=4 và các cạnh còn lại đều bằng 22. Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất, hãy tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

Cho cấp số cộng (un) với u1=4 , công sai d=4825 . Giá trị của biểu thức S=1u1+u2+1u2+u3+...+1u50+u51 là

Cho cấp số nhân (un) có các số hạng đều dương và u1+u2+u3+...+un=20201u1+1u2+1u3+...+1un=2021. Giá trị của P=u1.u2.u3.....un là

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!

Xét khối tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi, CD=4 và các cạnh còn lại đều bằng $\sqrt{22}$ . Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất, hãy tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = 4$ , công sai $d = \frac{48}{25}$ . Giá trị của biểu thức $S = \frac{1}{\sqrt{u_{1}} + \sqrt{u_{2}}} + \frac{1}{\sqrt{u_{2}} + \sqrt{u_{3}}} + ... + \frac{1}{\sqrt{u_{50}} + \sqrt{u_{51}}}$ là

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có các số hạng đều dương và $\{\begin{cases} u_{1} + u_{2} + u_{3} + ... + u_{n} = 2020 \\ \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + ... + \frac{1}{u_{n}} = 2021 \end{cases}$ .

Giá trị của $P = u_{1} . u_{2} . u_{3} ..... u_{n}$ là