Xét khối tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi, CD=4 và các cạnh còn lại đều bằng 22. Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất, hãy tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó. A...

+) Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB, CD. ΔACD cân tại A có trung tuyến AF⇒AF⊥CD. ΔBCD cân tại B có trung tuyến BF⇒BF⊥CD. ⇒CD⊥AFB⇒CD⊥ABCD⊥EF. Mặt khác vì ΔACD=ΔBCDc.c.c ⇒AF=BF⇒EF⊥AB. ⇒EFlà đoạn vuông góc chung của AB và CD. Do đó EF là trung trực của AB và CD nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là điểm I thuộc đoạn EF +) Trong tam giác vuôngADF.AF2=AD2−DF2=18⇒AF=32. VABCD=2VDABF=2.13DF.SABF=23DF12.AF.BFsinAFB^ ≤13DF.AF.BF=13322=6. VABCD lớn nhất bằng 6 khi sinAFB^=1⇔AFB^=900⇔AF⊥BF. Trong tam giác vuông cân ABF có: AB=AF2=6⇒EF=3. Đặt IE=x⇒IF=3−x0≤x≤3. Trong tam giác vuông AEI có: AI2=x2+9. Trong tam giác vuông DFI có: DI2=3−x2+4. Tứ diện ngoại tiếp mặt cầu tâm I thì R=AI=DI⇒AI2=DI2 ⇒x2+9=3−x2+4⇔−6x+4=0⇔x=23⇒R2=AI2=859. Vậy S=4πR2=4π.859=340π9. Chọn A

Câu hỏi:

26/05/2022 381

Xét khối tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi, CD=4 và các cạnh còn lại đều bằng $\sqrt{22}$ . Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất, hãy tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

A. $S = \frac{340 π}{9}$

B. $S = \frac{85 π}{9}$

C. $S = \frac{340 π}{3}$

D. $S = \frac{52 π}{9}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2023 - 2024 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét khối tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi, CD=4 và các cạnh còn lại đều bằng căn bậc hai của 22 (ảnh 1)

+) Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB, CD.

$Δ A C D$ cân tại A có trung tuyến $A F \Rightarrow A F ⊥ C D .$

$Δ B C D$ cân tại B có trung tuyến $B F \Rightarrow B F ⊥ C D .$

$\Rightarrow C D ⊥ (A F B) \Rightarrow \{\begin{cases} C D ⊥ A B \\ C D ⊥ E F \end{cases} .$

Mặt khác vì $Δ A C D = Δ B C D (c . c . c)$

$\Rightarrow A F = B F \Rightarrow E F ⊥ A B .$

$\Rightarrow E F$ là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

Do đó EF là trung trực của AB và CD nên tâm mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABCD là điểm I thuộc đoạn EF

+) Trong tam giác vuông $A D F . A F^{2} = A D^{2} - D F^{2} = 18 \Rightarrow A F = 3 \sqrt{2} .$

$V_{A B C D} = 2 V_{D A B F} = 2. \frac{1}{3} D F . S_{A B F} = \frac{2}{3} D F \frac{1}{2} . A F . B F \sin \hat{A F B}$

$\leq \frac{1}{3} D F . A F . B F = \frac{1}{3} {(3 \sqrt{2})}^{2} = 6.$

$V_{A B C D}$ lớn nhất bằng 6 khi $\sin \hat{A F B} = 1 \Leftrightarrow \hat{A F B} = 90^{0} \Leftrightarrow A F ⊥ B F .$

Trong tam giác vuông cân ABF có: $A B = A F \sqrt{2} = 6 \Rightarrow E F = 3.$

Đặt $I E = x \Rightarrow I F = 3 - x (0 \leq x \leq 3) .$

Trong tam giác vuông AEI có: $A I^{2} = x^{2} + 9.$

Trong tam giác vuông DFI có: $D I^{2} = {(3 - x)}^{2} + 4.$

Tứ diện ngoại tiếp mặt cầu tâm I thì $R = A I = D I \Rightarrow A I^{2} = D I^{2}$

$\Rightarrow x^{2} + 9 = {(3 - x)}^{2} + 4 \Leftrightarrow - 6 x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3} \Rightarrow R^{2} = A I^{2} = \frac{85}{9} .$

Vậy $S = 4 π R^{2} = 4 π . \frac{85}{9} = \frac{340 π}{9} .$

Chọn A

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tính tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất

A. 56,4(m)

B. 68,2(m)

C. 64,8(m)

D. 72,6(m)

Lời giải

Gọi $h_{n}$ là độ dài đường đi của quả bóng ở lần rơi xuống thứ n $(n \in Ν *)$

Gọi $I_{n}$ là độ dài đường đi của quả bóng ở lần nảy lên thứ n $(n \in Ν *)$

Theo bài ra ta có $h_{1} = 55, 8, l_{1} = \frac{1}{10} .55, 8 = 5, 58$ và các dãy số $(h_{n}), l_{n}$ là các cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q = \frac{1}{10}$

Suy ra tổng độ dài đường đi của quả bóng là $S = \frac{h_{1}}{1 - \frac{1}{10}} + \frac{l_{1}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{10}{9} (h_{1} + l_{1}) = 68, 2 (m)$ .

Chọn B

Câu 2

Cho hai đường tròn $(O_{1}; 10)$ và $(O_{2}; 8)$ cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường tròn . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn (phần tô đậm). Quay (H) quanh trục $O_{1} O_{2}$ ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.

A. $\frac{824 π}{3}$

B. $\frac{608}{3} π$

C. $\frac{97}{3} π$

D. $\frac{145}{3} π$

Lời giải

Ta xây dựng hệ trục Oxy tọa độ như hình vẽ

Cho hai đường tròn (O1;10) và (O2;8) cắt nhau tại hai điểm A, B (ảnh 2)

Ta có $O_{2} (0; 0), O_{1} (- 6; 0), C (8; 0) .$

Ta có $O_{1} O_{2} = \sqrt{O_{1} A^{2} - O_{2} A^{2}} = 6.$

Đường tròn có phương trình là $x^{2} + y^{2} = 64 \Leftrightarrow y = \sqrt{64 - x^{2}} (- 8 \leq x \leq 8) .$

Đường tròn $(O_{1}; 10)$ có phương trình là ${(x + 6)}^{2} + y^{2} = 100$

$\Rightarrow y = \sqrt{100 - {(x + 6)}^{2}} (- 16 \leq x \leq 4) .$

Thể tích cần tìm $V = π \int_{0}^{8} (64 - x^{2}) d x - π \int_{0}^{4} [100 - {(x + 6)}^{2}] d x = \frac{608 π}{3} .$

Chọn B

Câu 3

Lớp 11A2 có 45 bạn học sinh. Đầu năm cô giáo muốn chọn ra một ban cán sự lớp từ 45 bạn học sinh lớp 11A2 gồm một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớn phó văn thể mĩ, hai thư kí. Số cách cô giáo chọn ra một ban cán sự lớp như vậy là

A. 2. $P_{4}$

B. $2 . A_{45}^{3}$

C. $A_{45}^{4}$

D. $3! . C_{45}^{3} . C_{42}^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài , chiều rộng được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn (M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ A đến C qua vạch chắn MN, biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm được 15 m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được 30 m. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C.

A. $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

B. $\frac{10 + 2 \sqrt{725}}{30}$

C. $\frac{20 + \sqrt{725}}{30}$

D. 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Đề thi THPT môn Toán gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có 1 phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, điểm tối đa là 10 điểm. Một học sinh năng lực trung bình đã làm đúng được 25 câu, các câu còn lại học sinh đó không biết cách giải nên chọn phương án ngẫu nhiên cả 25 câu còn lại. Tính xác suất để điểm thi môn Toán của học sinh đó lớn hơn hoặc bằng 6 điểm?

A. 76,324%

B. 79,257%

C. 78,626%

D. 80,126%

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất 0,5%/tháng. Kể từ lúc gửi sau mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi người đó rút 10 triệu đồng để chi tiêu. Hỏi trong bao lâu kể từ ngày gửi người đó rút hết tiền trong tài khoản?

A. 136 tháng

B. 137 tháng.

C. 138 tháng.

D. 139 tháng.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 3} + a x + b}{{(x - 1)}^{2}}$ . Biết rằng đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Tính giá trị T=2a-3b.

A. $\frac{- 11}{4}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{19}{4}$

D. $\frac{7}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Xét khối tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi, CD=4 và các cạnh còn lại đều bằng 22. Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất, hãy tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

Bình luận

Cho hàm số y=x+3+ax+bx−12 . Biết rằng đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Tính giá trị T=2a-3b.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Xét khối tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi, CD=4 và các cạnh còn lại đều bằng $\sqrt{22}$ . Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất, hãy tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

Cho hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 3} + a x + b}{{(x - 1)}^{2}}$ . Biết rằng đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Tính giá trị T=2a-3b.