Câu hỏi:

02/06/2022 794

Cho parabol $(P) : y = x^{2} + 1$ và đường thẳng $d : y = m x + 2$ . Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.

A. S = 4

B. S = $\frac{4}{3}$

C. S = 0

D. S = $\frac{2}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là :

x^{2} + 1 = m x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - m x - 1 = 0 (*)

Ta có

Δ = m^{2} + 4 > 0, \forall m \in R

nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt

x = a

và

x = b (a < b) .

Do đó (P) luôn cắt d tại 2 điểm phân biệt

A (a; m a + 2)

và

B (b; m b + 2) .

Với mọi m, đường thẳng d luôn đi qua điểm

M (0; 2) .

Mà

y_{C T} = 1.

Suy ra

m x + 2 \geq x^{2} + 1, \forall x \in [a; b] .

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d là.

\begin{array}{l} S = \int_{a}^{b} (m x + 2 - (x^{2} + 1)) d x = \int_{a}^{b} (m x + 1 - x^{2}) d x = (\frac{m x}{2} + x - \frac{x^{3}}{3}) |\begin{array}{l} b \\ a \end{array} \\ = (b - a) [\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} (a^{2} + b^{2} + a b)] \\ = (b - a) [\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{3} a b] \\ \Rightarrow S^{2} = {(b - a)}^{2} {[\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{3} a b]}^{2} \\ = [{(b + a)}^{2} - 4 a b] {[\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{3} a b]}^{2} \end{array}

Vì a, b là nghiệm của phương trình (*) nên ta có

\{\begin{cases} a + b = m \\ a b = - 1 \end{cases} .

Khi đó

S^{2} = (m^{2} + 4) {(\frac{m^{2}}{6} + \frac{2}{3})}^{2} \geq 4. \frac{4}{9} = \frac{16}{9} .

Đẳng thức xảy ra khi

m = 0.

Vậy

S_{\min} = \frac{4}{3} .

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho $\vec{a} (1; - 3; 2), \vec{b} (m + 1; m - 2; 1 - m), \vec{c} (0; m - 2; 2)$ .

Tìm m để ba vectơ đó đồng phẳng.

A. m = 0 V m = –2.

B. m = –1 V m = 2.

C. m = 0 V m = –1.

D. m = 2 V m = 0.

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

[\vec{a}, \vec{b}] = (m + 1; 3 m + 1; 4 m + 1)

Ba vectơ

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

đồng phẳng khi

[\vec{a}, \vec{b}] \vec{c} = 0

\Leftrightarrow 3 m^{2} + 3 m = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = - 1 \end{array}

Câu 2

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho ba điểm $A (3; 2; 1), B (1; - 1; 2), C (1; 2; - 1)$ . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn $\vec{O M} = 2 \vec{A B} - \vec{A C}$ .

A. $M (- 2; 6; - 4)$

B. $M (2; - 6; 4)$

C. $M (- 2; - 6; 4)$

D. $M (5; 5; 0)$

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{A B} = (- 2; - 3; 1) \Rightarrow 2 \vec{A B} = (- 4; - 6; 2) \\ \vec{A C} = (- 2; 0; - 2) \Rightarrow - \vec{A C} = (2; 0; 2) \\ \Rightarrow \vec{O M} = (- 2; - 6; 4) \Rightarrow M (- 2; - 6; 4) . \end{array}$

Câu 3

Cho $\int_{0}^{2} f (x) d x = 3$ . Khi đó $\int_{0}^{2} [4 f (x) - 3] d x$ bằng

A. 2 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 8

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tích phân $L = \int_{0}^{π} x \sin x d x$ bằng:

A. L = p

B. L = -p

C. L = -2

D. L = 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho tam giác ABC với $A (1; 2; 1),$ $B (2; 1; 3),$ $C (3; 2; 2)$ .
Độ dài chiều cao AH của tam giác bằng

A. $\frac{\sqrt{21}}{6}$

B. $\frac{\sqrt{42}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{14}}{6}$

D. $\frac{\sqrt{14}}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có S(1;3;-1), A(1;0;0), B(0,-2,0), C(0;0;4) . Độ dài đường cao của hình chóp S.ABCD bằng

A. $\frac{1}{\sqrt{21}}$

B. $\frac{\sqrt{21}}{7}$

C. $\frac{2}{\sqrt{13}}$

D. $\frac{\sqrt{21}}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-1; 2; 4); B (- 1; 1; 4); C (0; 0; 4). Tìm số đo của $\hat{A B C}$

A. $135^{0}$

B. $45^{0}$

C. $60^{0}$

D. $120^{0}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học