Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có: a) cos2α + sin2α = 1; b) tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°). c) 1 + tan2α = 1cos2α (α ≠ 90°); d) 1 + cot2 α = 1sin2α (0° < α < 180°).

a) Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x0; y0) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α . Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy. Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác OPM vuông tại P có cạnh huyền OM = 1. Ta có: OP2 + MP2 = OM2 Mà OP = |x0| ; MP = OQ = y0 và OM = 1 Suy ra : |x0|2 + y02 = 1 tức là x02 + y02 = 1 (vì |x0|2 = x02) Mặt khác, theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc ta có: sinα = y0 cosα = x0 Suy ra cos2 α + sin 2 α = x02 + y02 = 1 Vậy sin 2 α + cos2 α = 1. b) Với mỗi góc α (0° < α < 180°, α ≠ 90°), gọi M(x0; y0) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α . Khi đó tanα = y0x0 ; cotα = x0y0 ; Suy ra tanα . cotα = y0x0. x0y0 = 1. Vậy tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°). c) Với α ≠ 90° ; tanα = và x02 + y02 = sin 2α + cos2α = 1 ; cosα = x0 ⇒ cos2α = x02. Ta có: 1 + tan2α = 1+y0x02=1+y02x20=x02+y02x20=1x20=1cos2α . Vậy 1 + tan2α = 1cos2α (α ≠ 90°). d) Với 0° < α < 180° ta có cotα = x0y0 và sinα = y0 ⇒ sin2 α = y02. Ta có : 1 + cot2α = 1+x0y02=1+x02y02=x02+y02y02=1y02=1sin2α . Vậy 1 + cot2 α = 1sin2α (0o < α < 180°).

Câu hỏi:

13/07/2024 8,959

Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có:

a) cos²α + sin²α = 1;

b) tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°).

c) 1 + tan²α = $\frac{1}{\cos^{2} α}$ (α ≠ 90°);

d) 1 + cot² α = $\frac{1}{\sin^{2} α}$ (0° < α < 180°).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = α$ .

Media VietJack

Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác OPM vuông tại P có cạnh huyền OM = 1.

Ta có: OP² + MP² = OM²

Mà OP = |x₀| ; MP = OQ = y₀ và OM = 1

Suy ra : |x₀|² + y₀² = 1 tức là x₀² + y₀² = 1 (vì |x₀|² = x₀²)

Mặt khác, theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc ta có:

sinα = y₀

cosα = x₀

Suy ra cos² α + sin ²α = x₀² + y₀² = 1

Vậy sin ²α+ cos² α = 1.

b) Với mỗi góc α (0° < α < 180°, α ≠ 90°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = α$ .

Khi đó tanα = $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ ; cotα = $\frac{x_{0}}{y_{0}}$ ;

Suy ra tanα . cotα = $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ . $\frac{x_{0}}{y_{0}}$ = 1.

Vậy tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°).

c) Với α ≠ 90°; tanα = và x₀² + y₀² = sin ²α+ cos²α = 1 ; cosα = x₀ ⇒ cos²α = x₀².

Ta có: 1 + tan²α =

$1 + {(\frac{y_{0}}{x_{0}})}^{2} = 1 + \frac{{y_{0}}^{2}}{x}$ ²0=x02+y02x²0=1x²0=1cos2α .

Vậy 1 + tan²α = $\frac{1}{\cos^{2} α}$ (α ≠ 90°).

d) Với 0° < α < 180° ta có cotα = $\frac{x_{0}}{y_{0}}$ và sinα = y₀ ⇒ sin² α = y₀².

Ta có : 1 + cot²α =

$1 + {(\frac{x_{0}}{y_{0}})}^{2} = 1 + \frac{{x_{0}}^{2}}{{y_{0}}^{2}} = \frac{{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2}}{{y_{0}}^{2}} = \frac{1}{{y_{0}}^{2}} = \frac{1}{\sin^{2} α}$ .

Vậy 1 + cot² α = $\frac{1}{\sin^{2} α}$ (0^o < α < 180°).

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:

a) cosα = $\frac{- \sqrt{2}}{2}$ ;

b) sinα = 0;

c) tanα = 1;

d) cotα không xác định.

Xem đáp án

Lời giải

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

a) cosα = $\frac{- \sqrt{2}}{2}$ ⇒ α = 135°;

Vậy α = 135°.

b) sinα = 0 ⇒ α = 0° hoặc α = 180°;

Vậy α = 0° hoặc α = 180°.

c) tanα = 1 ⇒ α = 45°;

Vậy α = 45°.

d) cotα không xác định ⇒ sinα = 0 ⇒ α = 0° hoặc α = 180°;

Vậy α = 0° hoặc α = 180°.

Câu 2

Cho biết sin30° = $\frac{1}{2}$ ; sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; tan45° = 1. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của E = 2cos30° + sin150° + tan135°.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có E = 2cos30° + sin150° + tan135°

= 2sin(90° – 30°) + sin(180° – 30°) + tan(180° – 45°)

= 2sin60° + sin30° – tan 45° = $2. \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 1$ = $\frac{2 \sqrt{3} - 1}{2}$ .

Câu 3

Cho góc α với cosα = $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức A = 2sin²α + 5cos²α .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Chứng minh rằng:

a) sin20° = sin160°;

b) cos50° = – cos130°.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Tính: sin168°45'33"; cos17°22'35"; tan156°26'39"; cot 56°36'42".

b) Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong các trường hợp sau:

i) sinα = 0,862;

ii) cosα = – 0,567;

iii) tanα = 0,334.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có:

a) cos²α + sin²α = 1;

b) tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°).

c) 1 + tan²α = $\frac{1}{\cos^{2} α}$ (α ≠ 90°);

d) 1 + cot² α = $\frac{1}{\sin^{2} α}$ (0° < α < 180°).

Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:

a) cosα = $\frac{- \sqrt{2}}{2}$ ;

b) sinα = 0;

c) tanα = 1;

d) cotα không xác định.

Cho biết sin30° = $\frac{1}{2}$ ; sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; tan45° = 1. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của E = 2cos30° + sin150° + tan135°.

Cho góc α với cosα = $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức A = 2sin²α + 5cos²α .

Chứng minh rằng:

a) sin20° = sin160°;

b) cos50° = – cos130°.

Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Tính: sin168°45'33"; cos17°22'35"; tan156°26'39"; cot 56°36'42".

b) Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong các trường hợp sau:

i) sinα = 0,862;

ii) cosα = – 0,567;

iii) tanα = 0,334.