Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có: a) cos2α + sin2α = 1; b) tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°). c) 1 + tan2α = 1cos2α (α ≠ 90°); d) 1 + cot2 α = 1sin2α (0° < α < 180°).

a) Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x0; y0) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α . Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy. Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác OPM vuông tại P có cạnh huyền OM = 1. Ta có: OP2 + MP2 = OM2 Mà OP = |x0| ; MP = OQ = y0 và OM = 1 Suy ra : |x0|2 + y02 = 1 tức là x02 + y02 = 1 (vì |x0|2 = x02) Mặt khác, theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc ta có: sinα = y0 cosα = x0 Suy ra cos2 α + sin 2 α = x02 + y02 = 1 Vậy sin 2 α + cos2 α = 1. b) Với mỗi góc α (0° < α < 180°, α ≠ 90°), gọi M(x0; y0) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α . Khi đó tanα = y0x0 ; cotα = x0y0 ; Suy ra tanα . cotα = y0x0. x0y0 = 1. Vậy tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°). c) Với α ≠ 90° ; tanα = và x02 + y02 = sin 2α + cos2α = 1 ; cosα = x0 ⇒ cos2α = x02. Ta có: 1 + tan2α = 1+y0x02=1+y02x20=x02+y02x20=1x20=1cos2α . Vậy 1 + tan2α = 1cos2α (α ≠ 90°). d) Với 0° < α < 180° ta có cotα = x0y0 và sinα = y0 ⇒ sin2 α = y02. Ta có : 1 + cot2α = 1+x0y02=1+x02y02=x02+y02y02=1y02=1sin2α . Vậy 1 + cot2 α = 1sin2α (0o < α < 180°).

Câu hỏi:

13/07/2024 3,687

Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có:

a) cos²α + sin²α = 1;

b) tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°).

c) 1 + tan²α = $\frac{1}{\cos^{2} α}$ (α ≠ 90°);

d) 1 + cot² α = $\frac{1}{\sin^{2} α}$ (0° < α < 180°).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = α$ .

Media VietJack

Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác OPM vuông tại P có cạnh huyền OM = 1.

Ta có: OP² + MP² = OM²

Mà OP = |x₀| ; MP = OQ = y₀ và OM = 1

Suy ra : |x₀|² + y₀² = 1 tức là x₀² + y₀² = 1 (vì |x₀|² = x₀²)

Mặt khác, theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc ta có:

sinα = y₀

cosα = x₀

Suy ra cos² α + sin ²α = x₀² + y₀² = 1

Vậy sin ²α+ cos² α = 1.

b) Với mỗi góc α (0° < α < 180°, α ≠ 90°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = α$ .

Khi đó tanα = $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ ; cotα = $\frac{x_{0}}{y_{0}}$ ;

Suy ra tanα . cotα = $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ . $\frac{x_{0}}{y_{0}}$ = 1.

Vậy tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°).

c) Với α ≠ 90°; tanα = và x₀² + y₀² = sin ²α+ cos²α = 1 ; cosα = x₀ ⇒ cos²α = x₀².

Ta có: 1 + tan²α =

$1 + {(\frac{y_{0}}{x_{0}})}^{2} = 1 + \frac{{y_{0}}^{2}}{x}$ ²0=x02+y02x²0=1x²0=1cos2α .

Vậy 1 + tan²α = $\frac{1}{\cos^{2} α}$ (α ≠ 90°).

d) Với 0° < α < 180° ta có cotα = $\frac{x_{0}}{y_{0}}$ và sinα = y₀ ⇒ sin² α = y₀².

Ta có : 1 + cot²α =

$1 + {(\frac{x_{0}}{y_{0}})}^{2} = 1 + \frac{{x_{0}}^{2}}{{y_{0}}^{2}} = \frac{{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2}}{{y_{0}}^{2}} = \frac{1}{{y_{0}}^{2}} = \frac{1}{\sin^{2} α}$ .

Vậy 1 + cot² α = $\frac{1}{\sin^{2} α}$ (0^o < α < 180°).

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:

a) cosα = $\frac{- \sqrt{2}}{2}$ ;

b) sinα = 0;

c) tanα = 1;

d) cotα không xác định.

Xem đáp án » 11/07/2024 16,500

Câu 2:

Cho biết sin30° = $\frac{1}{2}$ ; sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; tan45° = 1. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của E = 2cos30° + sin150° + tan135°.

Xem đáp án » 11/07/2024 11,739

Câu 3:

Cho góc α với cosα = $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức A = 2sin²α + 5cos²α .

Xem đáp án » 13/07/2024 10,464

Câu 4:

Chứng minh rằng:

a) sin20° = sin160°;

b) cos50° = – cos130°.

Xem đáp án » 11/07/2024 8,435

Câu 5:

Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Tính: sin168°45'33"; cos17°22'35"; tan156°26'39"; cot 56°36'42".

b) Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong các trường hợp sau:

i) sinα = 0,862;

ii) cosα = – 0,567;

iii) tanα = 0,334.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,950

Câu 6:

Cho biết sinα = $\frac{1}{2}$ , tìm góc α (0° ≤ α ≤ 180°) bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị.

Xem đáp án » 02/06/2022 5,114

Câu 7:

Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°.

Xem đáp án » 02/06/2022 4,957

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp

7 đề 13,288 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Hình học: Chương 1: Vectơ

6 đề 11,267 lượt thi Thi thử
Bài tập Ba đường conic có đáp án

2 đề 10,229 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 6: Cung và góc lượng giác - Công thức lượng giác

6 đề 9,919 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình

7 đề 9,799 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai

5 đề 8,655 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Hình học: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

6 đề 7,871 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Hình học: Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

5 đề 7,464 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình

5 đề 5,700 lượt thi Thi thử
Giải toán 10: Phần Đại số: Chương 5: Thống kê

6 đề 5,273 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Gọi 084 283 45 85

Hỗ trợ đăng ký khóa học tại Vietjack

Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có: a) cos2α + sin2α = 1; b) tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°). c) 1 + tan2α = 1cos2α (α ≠ 90°); d) 1 + cot2 α = 1sin2α (0° < α < 180°).

Nhà sách VIETJACK:

Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau: a) cosα = −22 ; b) sinα = 0; c) tanα = 1; d) cotα không xác định.

Cho biết sin30° = 12 ; sin60° = 32 ; tan45° = 1. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của E = 2cos30° + sin150° + tan135°.

Cho góc α với cosα = −22 . Tính giá trị của biểu thức A = 2sin2α + 5cos2α .

Chứng minh rằng: a) sin20° = sin160°; b) cos50° = – cos130°.

Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây: a) Tính: sin168°45'33"; cos17°22'35"; tan156°26'39"; cot 56°36'42". b) Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong các trường hợp sau: i) sinα = 0,862; ii) cosα = – 0,567; iii) tanα = 0,334.

Cho biết sinα = 12 , tìm góc α (0° ≤ α ≤ 180°) bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị.

Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°.

Bình luận

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có:

a) cos²α + sin²α = 1;

b) tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°).

c) 1 + tan²α = $\frac{1}{\cos^{2} α}$ (α ≠ 90°);

d) 1 + cot² α = $\frac{1}{\sin^{2} α}$ (0° < α < 180°).

Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:

a) cosα = $\frac{- \sqrt{2}}{2}$ ;

b) sinα = 0;

c) tanα = 1;

d) cotα không xác định.

Cho biết sin30° = $\frac{1}{2}$ ; sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; tan45° = 1. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của E = 2cos30° + sin150° + tan135°.

Cho góc α với cosα = $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức A = 2sin²α + 5cos²α .

Chứng minh rằng:

a) sin20° = sin160°;

b) cos50° = – cos130°.

Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Tính: sin168°45'33"; cos17°22'35"; tan156°26'39"; cot 56°36'42".

b) Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong các trường hợp sau:

i) sinα = 0,862;

ii) cosα = – 0,567;

iii) tanα = 0,334.

Cho biết sinα = $\frac{1}{2}$ , tìm góc α (0° ≤ α ≤ 180°) bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị.