Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có: a) cos2α + sin2α = 1; b) tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°). c) 1 + tan2α = 1cos2α (α ≠ 90°); d) 1 + cot2 α = 1sin2α (0° < α < 180°).

a) Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x0; y0) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α . Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy. Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác OPM vuông tại P có cạnh huyền OM = 1. Ta có: OP2 + MP2 = OM2 Mà OP = |x0| ; MP = OQ = y0 và OM = 1 Suy ra : |x0|2 + y02 = 1 tức là x02 + y02 = 1 (vì |x0|2 = x02) Mặt khác, theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc ta có: sinα = y0 cosα = x0 Suy ra cos2 α + sin 2 α = x02 + y02 = 1 Vậy sin 2 α + cos2 α = 1. b) Với mỗi góc α (0° < α < 180°, α ≠ 90°), gọi M(x0; y0) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α . Khi đó tanα = y0x0 ; cotα = x0y0 ; Suy ra tanα . cotα = y0x0. x0y0 = 1. Vậy tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°). c) Với α ≠ 90° ; tanα = và x02 + y02 = sin 2α + cos2α = 1 ; cosα = x0 ⇒ cos2α = x02. Ta có: 1 + tan2α = 1+y0x02=1+y02x20=x02+y02x20=1x20=1cos2α . Vậy 1 + tan2α = 1cos2α (α ≠ 90°). d) Với 0° < α < 180° ta có cotα = x0y0 và sinα = y0 ⇒ sin2 α = y02. Ta có : 1 + cot2α = 1+x0y02=1+x02y02=x02+y02y02=1y02=1sin2α . Vậy 1 + cot2 α = 1sin2α (0o < α < 180°).

Câu hỏi:

13/07/2024 4,643

Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có:

a) cos²α + sin²α = 1;

b) tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°).

c) 1 + tan²α = $\frac{1}{\cos^{2} α}$ (α ≠ 90°);

d) 1 + cot² α = $\frac{1}{\sin^{2} α}$ (0° < α < 180°).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = α$ .

Media VietJack

Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác OPM vuông tại P có cạnh huyền OM = 1.

Ta có: OP² + MP² = OM²

Mà OP = |x₀| ; MP = OQ = y₀ và OM = 1

Suy ra : |x₀|² + y₀² = 1 tức là x₀² + y₀² = 1 (vì |x₀|² = x₀²)

Mặt khác, theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc ta có:

sinα = y₀

cosα = x₀

Suy ra cos² α + sin ²α = x₀² + y₀² = 1

Vậy sin ²α+ cos² α = 1.

b) Với mỗi góc α (0° < α < 180°, α ≠ 90°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = α$ .

Khi đó tanα = $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ ; cotα = $\frac{x_{0}}{y_{0}}$ ;

Suy ra tanα . cotα = $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ . $\frac{x_{0}}{y_{0}}$ = 1.

Vậy tanα . cotα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°).

c) Với α ≠ 90°; tanα = và x₀² + y₀² = sin ²α+ cos²α = 1 ; cosα = x₀ ⇒ cos²α = x₀².

Ta có: 1 + tan²α =

$1 + {(\frac{y_{0}}{x_{0}})}^{2} = 1 + \frac{{y_{0}}^{2}}{x}$ ²0=x02+y02x²0=1x²0=1cos2α .

Vậy 1 + tan²α = $\frac{1}{\cos^{2} α}$ (α ≠ 90°).

d) Với 0° < α < 180° ta có cotα = $\frac{x_{0}}{y_{0}}$ và sinα = y₀ ⇒ sin² α = y₀².

Ta có : 1 + cot²α =

$1 + {(\frac{x_{0}}{y_{0}})}^{2} = 1 + \frac{{x_{0}}^{2}}{{y_{0}}^{2}} = \frac{{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2}}{{y_{0}}^{2}} = \frac{1}{{y_{0}}^{2}} = \frac{1}{\sin^{2} α}$ .

Vậy 1 + cot² α = $\frac{1}{\sin^{2} α}$ (0^o < α < 180°).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:

a) cosα = $\frac{- \sqrt{2}}{2}$ ;

b) sinα = 0;

c) tanα = 1;

d) cotα không xác định.

Xem đáp án

Lời giải

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

a) cosα = $\frac{- \sqrt{2}}{2}$ ⇒ α = 135°;

Vậy α = 135°.

b) sinα = 0 ⇒ α = 0° hoặc α = 180°;

Vậy α = 0° hoặc α = 180°.

c) tanα = 1 ⇒ α = 45°;

Vậy α = 45°.

d) cotα không xác định ⇒ sinα = 0 ⇒ α = 0° hoặc α = 180°;

Vậy α = 0° hoặc α = 180°.

Câu 2

Cho biết sin30° = $\frac{1}{2}$ ; sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; tan45° = 1. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của E = 2cos30° + sin150° + tan135°.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có E = 2cos30° + sin150° + tan135°

= 2sin(90° – 30°) + sin(180° – 30°) + tan(180° – 45°)

= 2sin60° + sin30° – tan 45° = $2. \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 1$ = $\frac{2 \sqrt{3} - 1}{2}$ .

Câu 3