Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn ∫01f'x2dx=∫01x+1exfxdx=e2−14 và f(1)=0 . Tính ∫01fxdx A. e−12 B. e24 C. e-2 D. e2

Chọn C - Tính : I=∫01x+1exfxdx=∫01xexfxdx+∫01exfxdx=J+K Tính K=∫01exfxdx Đặt u=exfxdv=dx⇒du=exfx+exf'xdxv=x ⇒K=xexfx01−∫01xexfx+xexf'xdx =−∫01xexfxdx−∫01xexf'xdxdo f1=0 ⇒K=−J−∫01xexf'xdx⇒I=J+K=−∫01xexf'xdx - Kết hợp giả thiết ta được : ∫01f'x2dx=e2−14−∫01xexf'xdx=e2−14⇒∫01f'x2dx=e2−14 (1)2∫01xexf'xdx=−e2−12 (2) - Mặt khác, ta tính được : ∫01x2e2xdx=e2−14 (3) - Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được: ∫01f'x2+2xexf'x+x2e2xdx=0 ⇔∫o1f'x+xex2dx=0⇔π∫o1f'x+xex2dx=0 hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f'x+xex , trục Ox, các đường thẳng x=0 , x=1 khi quay quanh trục Ox bằng 0 ⇒f'x+xex=0⇔f'x=−xex⇒fx=−∫xexdx=1−xex+C - Lại do f1=0⇒C=0⇒fx=1−xex ⇒∫01fxdx=∫011−xexdx=1−xex01+∫01exdx=−1+ex01=e−2 Vậy∫01fxdx=e−2

Câu hỏi:

04/06/2022 508

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4}$ và f(1)=0 . Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$

A. $\frac{e - 1}{2}$

B. $\frac{e^{2}}{4}$

C. e-2

D. $\frac{e}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C

- Tính : $I = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x =$ $\int_{0}^{1} x e^{x} f (x) d x + \int_{0}^{1} e^{x} f (x) d x = J + K$

Tính $K = \int_{0}^{1} e^{x} f (x) d x$

Đặt

\{\begin{cases} u = e^{x} f (x) \\ d v = d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = [e^{x} f (x) + e^{x} f^{'} (x)] d x \\ v = x \end{cases}

\Rightarrow K = {(x e^{x} f (x))|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} [x e^{x} f (x) + x e^{x} f^{'} (x)] d x

= - \int_{0}^{1} x e^{x} f (x) d x - \int_{0}^{1} x e^{x} f^{'} (x) d x

(do f (1) = 0)

\Rightarrow K = - J - \int_{0}^{1} x e^{x} f^{'} (x) d x

\Rightarrow I = J + K = - \int_{0}^{1} x e^{x} f^{'} (x) d x

- Kết hợp giả thiết ta được :

$\{\begin{cases} \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \frac{e^{2} - 1}{4} \\ - \int_{0}^{1} x e^{x} f^{'} (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4} \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \frac{e^{2} - 1}{4} (1) \\ 2 \int_{0}^{1} x e^{x} f^{'} (x) d x = - \frac{e^{2} - 1}{2} (2) \end{cases}$

- Mặt khác, ta tính được : $\int_{0}^{1} x^{2} e^{2 x} d x = \frac{e^{2} - 1}{4} (3)$

- Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

\int_{0}^{1} ({[f^{'} (x)]}^{2} + 2 x e^{x} f^{'} (x) + x^{2} e^{2 x}) d x = 0

\Leftrightarrow \int_{o}^{1} {(f^{'} (x) + x e^{x})}^{2} d x = 0

\Leftrightarrow π \int_{o}^{1} {(f^{'} (x) + x e^{x})}^{2} d x = 0

hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f^{'} (x) + x e^{x}

, trục Ox, các đường thẳng x=0 , x=1 khi quay quanh trục Ox bằng 0

\Rightarrow f^{'} (x) + x e^{x} = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = - x e^{x} \Rightarrow f (x) = - \int x e^{x} d x = (1 - x) e^{x} + C

- Lại do

f (1) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) = (1 - x) e^{x}

\Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (1 - x) e^{x} d x = {((1 - x) e^{x})|}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{x} d x = - 1 + {e^{x}|}_{0}^{1} = e - 2

Vậy

\int_{0}^{1} f (x) d x = e - 2

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho 2 điểm A(2; 4; 1), B(–2; 2; –3). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A. $x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

B. $x^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

C. $x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 3$

D. $x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

Lời giải

Chọn D

Gọi I là tâm cầu, khi đó do AB là đường kính nên I là trung điểm AB. I(0;3;-1)

. Nên bán kính R = 3

Vậy phương trình mặt cầu:

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (2; 0; - 2), B (3; - 1; - 4), C (- 2; 2; 0)$ . Điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 là:

A. $D (0; - 3; - 1)$

B. $D (0; 2; - 1)$

C. $D (0; 1; - 1)$

D. $D (0; 3; - 1)$

Lời giải

Chọn D.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A( 2;0;-2) B( 3;-1;-4) (ảnh 1)

Câu 3

Nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}} (x \neq 0)$ là

A. $F (x) = x - 3 \ln |x| + \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + C$

B. $F (x) = x - 3 \ln |x| - \frac{3}{x} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

C. $F (x) = x - 3 \ln |x| + \frac{3}{x} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

D. $F (x) = x - 3 \ln |x| - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(1;-1;0) , B(2;1;3) , C'(-1;2;2) , D'(-2;3;2). Khi đó tọa độ điểm B là?

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho mặt cầu . Hỏi trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không cắt mặt cầu?

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ là:

A. $\ln x - \ln x^{2} + C$

B. $\ln |x| - \frac{1}{x} + C$

C. $\ln |x| + \frac{1}{x} + C$

D. $\ln |x| - \frac{1}{x} + C$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;1;1) , B(1;-2;0) , C(-2;1;-1) . Diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu?

A. $\sqrt{22}$

B. $2 \sqrt{22}$

C. $\frac{\sqrt{22}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{11}}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn ∫01f'x2dx=∫01x+1exfxdx=e2−14 và f(1)=0 . Tính ∫01fxdx

Bình luận

Cho 2 điểm A(2; 4; 1), B(–2; 2; –3). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2;0;−2, B3;−1;−4, C−2;2;0 . Điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 là:

Nguyên hàm Fx của hàm số fx=x−13x3 x≠0 là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(1;-1;0) , B(2;1;3) , C'(-1;2;2) , D'(-2;3;2). Khi đó tọa độ điểm B là?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho mặt cầu . Hỏi trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không cắt mặt cầu?

Nguyên hàm của hàm số f(x)=1x−1x2 là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;1;1) , B(1;-2;0) , C(-2;1;-1) . Diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4}$ và f(1)=0 . Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (2; 0; - 2), B (3; - 1; - 4), C (- 2; 2; 0)$ . Điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 là:

Nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}} (x \neq 0)$ là

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ là: